§ 20. Введение инвариантных дифференциальных операций с использованием коэффициентов связности

Перейдем теперь ко второй группе дифференциальных операций, для которых понятие параллельного переноса играет существенную роль. Для физических приложений только две такие операции имеют значение, именно те, которые соответствуют операциям

и

аффинной группы. Чтобы получить их выражения в общей группе преобразований, сделаем следующее построение. Пусть в каждой точке кривой задан вектор с компонентами а. Выберем произвольным образом некоторую точку кривой Р и построим путем параллельного переноса вектора вдоль кривой вторую совокупность векторов где Р — любая точка кривой.

В точке Р а и совпадают:

Тогда при помощи соотношения

можно инвариантным образом определить новый вектор, так как в числителе стоит разность двух векторов в одной точке. Из (64) и (70) следует, что

Если мы подставим вместо t длину дуги s и вместо касательный вектор то получим вектор «ускорения», компоненты которого совпадают с левой частью (80):

Если вектор а задан не только вдоль кривой, но и в некоторой области, то при помощи (146) каждому направлению можно сопоставить вектор

Отсюда следует, что

являются компонентами некоторого тензора. Этот тензор и есть искомое обобщение тензора аффинной группы.

Векторное поле для которого тензор исчезает в некоторой точке Р, называется стационарным в этой точке. По § 16 и 18 в евклидовом пространстве и только

в нем существуют векторные поля, стационарные во всех точках некоторой конечной области.

Так как система величин симметрична и не антисимметрична, то мы имеем дело с тензором в смысле § 9, а ее в смысле § 11. Мы можем разбить на антисимметричную часть

и симметричную часть

С помощью стационарных векторных полей можно, используя процедуру Вейля [104], образовать дивергенцию тензора второго ранга . Пусть — векторное поле, стационарное в Р, так что в этой точке

и

Образуем тогда согласно (141 а) дивергенцию вектора

Введя в нее значение производных получим

где

— тензорная плотность, соответствующая T, и из вариантности (149) следует, что (150 а) и (150b) суть ко- и контравариантные компоненты некоторой векторной плотности.

В евклидовом пространстве можно дивергенцию тензора второго ранга интерпретировать иначе. Если и

s — два единичных вектора, то можно назвать величину компонентой тензора по этим двум направлениям. Пусть задано в точке Р произвольным образом; тогда в любой точке Р рассматриваемого евклидова пространства можно однозначным инвариантным образом указать параллельное направление. Р. Векторное поле Р, очевидно, всюду стационарно и может быть подставлено в (149) вместо

Положив, далее, в (139а) , придем к

    (151)

формуле, полученной Лангом (см. [69]). Далее, неевклидово пространство можно заменить касательным евклидовым, так как вторые производные в конечный результат (150) не входят, а первые производные можно соответствующим выбором координат сделать в обоих пространствах одинаковыми. Поэтому результат предельного перехода в -векторный характер -может претендовать на общпость, хотя интеграл правой части имеет смысл только в евклидовом пространстве.

Ради полноты приведем здесь еще общую формулу, которая, однако, в физике не играет никакой роли. Из тензора при дифференцировании получается тензор высшего ранга:

Операция (152), найденная еще Кристоффелем, названа Риччи и Леви-Чивитой коеариантным дифференцированием.

Мы использовали ранее эту операцию для получения дивергенции тензора второго ранга. Именно путем дифференцирования согласно (152) мы получили тензор

затем свернули его:

Следует еще упомянуть о том, как Риччи и Леви-Чивита (см. [67]) получили выражение для тензора кривизны. Для произвольного вектора образуют по а затем по Правая часть этого выражения содержит члены, в которые входят только и члены, в которые входят первые и вторые производные от Последние, однако, исчезают для разности получают, что

Таким образом, выясняется тензорный характер Однако этот метод не раскрывает геометрического значения тензора (см. примеч. 7).