Главная > Теория относительности
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 20. Введение инвариантных дифференциальных операций с использованием коэффициентов связности

Перейдем теперь ко второй группе дифференциальных операций, для которых понятие параллельного переноса играет существенную роль. Для физических приложений только две такие операции имеют значение, именно те, которые соответствуют операциям

и

аффинной группы. Чтобы получить их выражения в общей группе преобразований, сделаем следующее построение. Пусть в каждой точке кривой задан вектор с компонентами а. Выберем произвольным образом некоторую точку кривой Р и построим путем параллельного переноса вектора вдоль кривой вторую совокупность векторов где Р — любая точка кривой.

В точке Р а и совпадают:

Тогда при помощи соотношения

можно инвариантным образом определить новый вектор, так как в числителе стоит разность двух векторов в одной точке. Из (64) и (70) следует, что

Если мы подставим вместо t длину дуги s и вместо касательный вектор то получим вектор «ускорения», компоненты которого совпадают с левой частью (80):

Если вектор а задан не только вдоль кривой, но и в некоторой области, то при помощи (146) каждому направлению можно сопоставить вектор

Отсюда следует, что

являются компонентами некоторого тензора. Этот тензор и есть искомое обобщение тензора аффинной группы.

Векторное поле для которого тензор исчезает в некоторой точке Р, называется стационарным в этой точке. По § 16 и 18 в евклидовом пространстве и только

в нем существуют векторные поля, стационарные во всех точках некоторой конечной области.

Так как система величин симметрична и не антисимметрична, то мы имеем дело с тензором в смысле § 9, а ее в смысле § 11. Мы можем разбить на антисимметричную часть

и симметричную часть

С помощью стационарных векторных полей можно, используя процедуру Вейля [104], образовать дивергенцию тензора второго ранга . Пусть — векторное поле, стационарное в Р, так что в этой точке

и

Образуем тогда согласно (141 а) дивергенцию вектора

Введя в нее значение производных получим

где

— тензорная плотность, соответствующая T, и из вариантности (149) следует, что (150 а) и (150b) суть ко- и контравариантные компоненты некоторой векторной плотности.

В евклидовом пространстве можно дивергенцию тензора второго ранга интерпретировать иначе. Если и

s — два единичных вектора, то можно назвать величину компонентой тензора по этим двум направлениям. Пусть задано в точке Р произвольным образом; тогда в любой точке Р рассматриваемого евклидова пространства можно однозначным инвариантным образом указать параллельное направление. Р. Векторное поле Р, очевидно, всюду стационарно и может быть подставлено в (149) вместо

Положив, далее, в (139а) , придем к

    (151)

формуле, полученной Лангом (см. [69]). Далее, неевклидово пространство можно заменить касательным евклидовым, так как вторые производные в конечный результат (150) не входят, а первые производные можно соответствующим выбором координат сделать в обоих пространствах одинаковыми. Поэтому результат предельного перехода в -векторный характер -может претендовать на общпость, хотя интеграл правой части имеет смысл только в евклидовом пространстве.

Ради полноты приведем здесь еще общую формулу, которая, однако, в физике не играет никакой роли. Из тензора при дифференцировании получается тензор высшего ранга:

Операция (152), найденная еще Кристоффелем, названа Риччи и Леви-Чивитой коеариантным дифференцированием.

Мы использовали ранее эту операцию для получения дивергенции тензора второго ранга. Именно путем дифференцирования согласно (152) мы получили тензор

затем свернули его:

Следует еще упомянуть о том, как Риччи и Леви-Чивита (см. [67]) получили выражение для тензора кривизны. Для произвольного вектора образуют по а затем по Правая часть этого выражения содержит члены, в которые входят только и члены, в которые входят первые и вторые производные от Последние, однако, исчезают для разности получают, что

Таким образом, выясняется тензорный характер Однако этот метод не раскрывает геометрического значения тензора (см. примеч. 7).

1
Оглавление
email@scask.ru