Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 20. Введение инвариантных дифференциальных операций с использованием коэффициентов связностиПерейдем теперь ко второй группе дифференциальных операций, для которых понятие параллельного переноса играет существенную роль. Для физических приложений только две такие операции имеют значение, именно те, которые соответствуют операциям
и
аффинной группы. Чтобы получить их выражения в общей группе преобразований, сделаем следующее построение. Пусть в каждой точке кривой В точке Р а и
Тогда при помощи соотношения
можно инвариантным образом определить новый вектор, так как в числителе стоит разность двух векторов в одной точке. Из (64) и (70) следует, что
Если мы подставим вместо t длину дуги s и вместо
Если вектор а задан не только вдоль кривой, но и в некоторой области, то
Отсюда следует, что
являются компонентами некоторого тензора. Этот тензор и есть искомое обобщение тензора Векторное поле в нем существуют векторные поля, стационарные во всех точках некоторой конечной области. Так как система величин
и симметричную часть
С помощью стационарных векторных полей можно, используя процедуру Вейля [104], образовать дивергенцию тензора второго ранга
и
Образуем тогда согласно (141 а) дивергенцию вектора
Введя в нее значение производных получим
где
В евклидовом пространстве можно дивергенцию тензора второго ранга интерпретировать иначе. Если s — два единичных вектора, то можно назвать величину
Положив, далее, в (139а)
формуле, полученной Лангом (см. [69]). Далее, неевклидово пространство можно заменить касательным евклидовым, так как вторые производные Ради полноты приведем здесь еще общую формулу, которая, однако, в физике не играет никакой роли. Из тензора
Операция (152), найденная еще Кристоффелем, названа Риччи и Леви-Чивитой коеариантным дифференцированием. Мы использовали ранее эту операцию для получения дивергенции тензора второго ранга. Именно путем дифференцирования
Следует еще упомянуть о том, как Риччи и Леви-Чивита (см. [67]) получили выражение для тензора кривизны. Для произвольного вектора
Таким образом, выясняется тензорный характер Однако этот метод не раскрывает геометрического значения тензора
|
1 |
Оглавление
|