§ 53. Простые следствия принципа эквивалентности

а. Уравнения движения материальной точки в случае малых скоростей (см. [2621, § 21) и слабых полей тяготения. Уравнения движения материальной точки (80) допускают значительное упрощение, если скорость материальной точки мала по сравнению со скоростью света, так что величинами порядка можно пренебречь. Кроме того, предположим, что гравитационное поле слабо. Это значит, что должны лишь крайне мало отклоняться от их нормальных значений

так что квадратами этих отклонений можно пренебречь. Тогда имеем

Кроме того, пусть поле будет статическим или квазистатическим, так что временными производными можно пренебречь. В этом случае вместо можно подставить или , и уравнения движения (389) принимают ньютонову форму:

если положить

Неопределенная вначале аддитивная постоянная в выражении для потенциала Ф определена так, что Ф равно Вулю, если принимает свое нормальное значение —1,

Интересно, что в применяемом здесь приближении в уравнения движения входит лишь величина хотя отклонения остальных от их нормальных значений могут быть такого же порядка, как На этом основывается возможность приближенного описания гравитационного поля с помощью скалярного потенциала.

Красное смещение спектральных линий. Следствием только что указанного обстоятельства является возможность общего утверждения о влиянии гравитационного поля на часы даже в том случае, когда законы -поля еще не установлены, поскольку это влияние определяется величиной . Аналогичные утверждения о свойствах масштабов могут быть сделаны только, если известны также и остальные

Представим себе систему отсчета К, вращающуюся с угловой скоростью со относительно галилеевой системы Неподвижные в К часы идут тогда, вследствие поперечного эффекта Доплера, тем медленнее, чем они находятся дальше от оси вращения; в этом мы сразу же убедимся, если рассмотрим процесс с точки зрения наблюдателя и системе . Замедление времени определяется выражением

Наблюдатель, вращающийся вместе с системой К, не будет истолковывать это сокращение времени как поперечный эффект Доплера, так как относительно него часы покоятся. Однако в К имеется гравитационное поле (поле центробежной силы), имеющее потенциал

Наблюдатель в К придет также к выводу, что часы идут тем медленнее, чем меньше в рассматриваемой точке гравитационный потенциал. Именно, замедление времени в первом приближении равно

Эйнштейн [251] провел аналогичное рассуждение для равномерно ускоренной системы отсчета. Таким образом, поперечный эффект Доплера и замедление времени вследствие тяготения являются двумя различными способами выражения того факта, что часы всегда показывают

собственное время

Вообще говоря, время отличается от нормального собственного времени покоящихся часов. В силу того, что элемент мировой линии покоящихся часов равен

согласно (157) получаем

Уравнение (392) имеет следующий физический смысл: если одни из двух покоящихся одинаковых и вначале синхронных часов поместить на некоторое время в гравитационное поле, то после этого оба прибора уже не идут синхронно, а напротив, побывавшие в гравитационном иоле часы отстают. Как указал Эйнштейн [275], на этом основывается также объяснение рассмотренного в § 5 парадокса часов. В системе К, в которой часы все время покоятся, во время торможения имеется гравитационное поле, которое наблюдатель в К и может считать причиной отставания покоящихся часов

Соотношение (392) имеет одно важное следствие, поддающееся опытной проверке. Если принять за часы световой колебательный процесс, то перенос часов может быть осуществлен с помощью светового луча. В случае статического гравитационного поля всегда можно так выбрать временную координату, чтобы величины от нее не зависели. Тогда число волн светового луча между двумя точками также будет независимым от времени и, следовательно, частота света в луче, измеренная в заданной шкале времени, будет одинаковой в и, таким образом, независимой от места наблюдения. Напротив, частота, измеренная в шкале собственного времени, зависит от места наблюдения. Поэтому, если наблюдать на Земле спектральную линию, излученную на Солнце, то вследствие соотношения (392) эта линия будет смещена в красную сторону по сравнению с соответствующей

линией земного происхождения на величину

где значение гравитационного потенциала на Земле, а на поверхности Солнца. Численный расчет приводит к значению

соответствующему эффекту Доплера при скорости

Было сделано очень большое число опытов с целью экспериментально проверить это соотношение. Еще Джуэлл [277] обнаружил смещение спектральных линий Солнца в красную сторону, рассматривая его, однако, как эффект давления. После того как позже Эвершед [278] показал, что это смещение не совпадает с экспериментально установленным смещением от давления, казалось естественным привлечь для объяснения явления эффект Эйнштейна [251, 279]. Однако, при более подробном исследовании оказалось, что различные линии смещены на разную величину, так что эффект Эйнштейна во всяком случае недостаточен для объяснения деталей явления. Значительно лучше подходят для проверки теории Эйнштейна новые измерения для полосы азота (так называемой циановой полосы). Эта полоса отличается тем, что не обнаруживает заметного смещения при давлении. Сравнение абсорбционных линий этих полос в спектре Солнца с соответствующими земными эмиссионными линиями было впервые выполнено Шварцшильдом [280], а затем с большей точностью Сент-Джоном [281] в обсерватории Маунт-Вильсон, а также Эвершедом и Ройдсом [282]. Все эти авторы нашли значительно меньшие смещения линий, чем предсказывалось теорией, а Сент-Джон вообще твердо не установил никакого смещения. Поэтому некоторое время казалось, что теория противоречит опыту. Однако Гребе и Бахем [284] в

ряде новых исследований показали, что измеренные смещения имеют совершенно различные значения у разных линий, и затем путем измерения линий с помощью регистрирующего микрофотометра Коха установили, что причины этого, кажущегося сначала весьма странным, обстоятельства лежат в перекрытии различных линий солнечного спектра. В случае невозмущенных линий смещения, в пределах погрешности, измеренные значения совпадают с теоретическим (393а). При этом, правда, не возмущено сравнительно небольшое число линий. Однако недавно Гребе [285] нашел, что и среднее значение смещения ста возмущенных и невозмущенных линий указанной полосы азота согласуется с теорией. Перо [286] также исследовал красное смещение этих полос и получил положительный результат. Последний не может, однако, считаться особо убедительным, так как возможное перекрытие линий во внимание не принималось.

Фрейндлих [287] пытался доказать наличие красного смещения и для неподвижных звезд. В случае звезд это, однако, возможно только с помощью довольно неясных гипотез, необходимых для разделения гравитационного и доплеровского эффектов. Первые результаты Фрейндлиха были вследствие этого опровергнуты Зеелигером [288].

Резюмируя, можно сказать, что экспериментальные результаты относительно красного смещения в настоящее время благоприятны для теории, но не дают еще окончательного ее подтверждения (см. примеч. 14).

. Принцип Ферма в статических гравитационных полях. Примем, что мы имеем дело со статическим гравитационным полем, т. е. что система координат может быть выбрана так, чтобы все не зависели от времени и четырехмерный линейный элемент имел форму

где — положительно определенная квадратичная форма от трех дифференциалов пространственных координат; — зависящая от точки скорость света. Кроме того, в этом случае

Выполнение первых трех написанных соотношений во всех статических -полях является особой гипотезой, которая может быть оправданной, лишь если исходить из Дифференциального уравнения -поля. В частном случае

сферически-симметричных статических полей, конечно, a priori видно, что с помощью подходящей нормировки времени всегда можно добиться исчезновения этих компонент

Мы хотим здесь исследовать траекторию светового луча в подобном поле. Согласно § 51 эта траектория определяется условием, что она должна быть нулевой геодезической линией. В рассматриваемом специальном случае это положение, как показали Леви-Чивита [293] и Вейль [294], может быть выражено в форме принципа Ферма. Для доказательства будем исходить из вариационного принципа (83) (см. § 15)

При этом координаты концов пути интегрирования не варьируются. Если теперь подставить для значения, следующие из (394), то получим

и вариационный принцип при варьировании t дает уравнение

При соответствующей нормировке параметра К мы можем положить

Изменим теперь условия варьирования следующим образом.

1. Фиксированными должны оставаться лишь пространственные концы траектории; временная координата пусть варьируется и в начальной и в конечной ее точках.

2. Варьированная траектория также должна быть нулевой линией (но не обязательно геодезической). Вследствие последнего условия

во всех точках траектории. С другой стороны, при варьировании временной координаты

Это выражение также должно быть равно нулю, если варьированная траектория является нулевой линией. Условие (395), означающее, что нулевая линия есть геодезическая, может поэтому быть заменено соотношением

или, после исключения времени с помощью условия соотношением

Это есть не что иное, как принцип Ферма. Отсюда следует, что в статическом гравитационном поле световой луч не является геодезической линией трехмерного пространства, иначе он подчинялся бы условию

Только мировая линия светового луча в четырехмерном мире является геодезической. Поэтому световой луч в гравитационном поле искривляется. Степень искривления зависит, однако, от вида и в отличие от красного смещения может быть определена только, если уравнения -поля сами известны (см. § 58, ).

Для траектории материальной точки в статическом гравитационном поле также можно аналогичным образом найти вариационный принцип, не содержащий больше временной координаты [293, 294]. Однако он не имеет наглядного толкования.