§ 43. Преобразование энергии и импульса системы при наличии внешних сил

Формулы (228) справедливы только в том случае, если в Е и G включены все входящие в рассмотрение импульсы и энергии. Поэтому, если, например, имеется газ, находящийся под внешним давлением, или система покоящихся электрических зарядов, то мы должны также учитывать упругую энергию сосуда, в котором находится газ, или соответственно упругую энергию заряженной материи. Это было бы очень неудобно. Мы хотим юэтому решить следующую общую проблему. виды энергии, которые мы хотим рассматривать вызывают силу причем

где — тензор, соответствующий упомянутым видам энергии. Требуется найти формулы преобразования полной энергии и полного импульса. Пусть рассматриваемая система покоится в системе К, т. е. пусть в К ее полный импульс равен нулю пусть, кроме того, величины, описывающие состояние системы, не зависят от времени.

Далее можно идти двумя путями. Во-первых, можно преобразовать сначала плотность энергии и плотность импульса к движущейся системе, что легко осуществляется с помощью формул преобразования компонент симметричного тензора, а затем интегрировать по объему. Таким путем шел Лауэ [216]. При этом получаем

Если, в частности, напряжения представляют собой постоянное в пространстве скалярное давление , то, как впервые показал Планк [209] в его основной для динамики движущихся систем работе (см. также [217]),

Во-вторых, можно провести рассмотрение, подобно проведенному в § 21 доказательству векторного характера величин Здесь существенно учесть, что интеграл по сечению не может быть просто заменен интегралом по сечению . Упомянутые интегралы отличаются друг от друга интегралом

распространенным на четырехмерную область между обоими сечениями. Если ось X направить по направлению скорости системы К относительно К, то легко найдем, что

и после промежуточных вычислений получим

Эти формулы получены Эйнштейном [218]. С помощью интегрирования по частим они могут быть преобразованы в формулы Лауэ.