§ 44. Применение к специальным случаям. Опыт Троутона — Нобля

Лростоо рассуждение показывает, что согласно формулам преобразования релятшшстской механики движущееся твердое тело находится в равновесии отнюдь не тогда, когда результирующий момент приложенных к нему сил равен пулю. Рассмотрим, например, стержень, который в системе К двшкетея со скоростью и в направлении сил Пусть в сопутствующей стержню системе К на оба конца стержня действуют по оси стержня равные, но противоположно направленные силы. Пусть, далее, измеренный в К угол между стержнем и скоростью и (осью х) К относительно К равен а. Если х, у суть разности координат концов стержня в К, а х и у — соответствующие значения в К, то

и согласно (213):

в противоположность соотношениям

Таким образом, в К сила не направлена по стержню. Возникает момент сил

    (348)

Теперь встает вопрос, почему, несмотря на наличие момента сил, вращение стержня не имеет места. Сразу же заметим, что силы упругости, уравновешивающие в К внешние силы К, преобразуются совершенно так же, как

эти последние. Поэтому в системе К присутствует момент сил упругости, который компенсирует внешний момент Л. Более глубокая причина того, что здесь силы упругости не направлены по стержню, заключается в невозможности представить их в виде дивергенции некоторого тензора напряжений; именно, оказывается, что помимо этой дивергенции присутствует член, вызванный изменением плотности импульса во времени (см. § 42). Нижеследующее рассмотрение показывает, что отсюда получается также и количественно правильное значение момента сил. Момент упругих сил N равен взятой со знаком минус производной от полного упругого момента количества движения L, т. е. согласно (344):

Вывод этот аналогичен выводу Лоренца для случая электромагнитных сил (220]. Поскольку в К нее величины не зависят от времени, легко находим

Поэтому определение момента сил сведено к нахождению полною упругого импульса

В нашем случае поток энергии всегда параллелен направлению стержни, а распространенный на сечение стержня интеграл

равен, в силу закона сохранения энергии, работе Поэтому

где — вектор с компонентами Подставляя это значение в (344Ь), получаем:

Этот момент, таким образом, действительно точно компенсирует момент (348).

Аналогичные рассуждения позволяют разобрать случай прямоугольного рычага, для которого наличие момента сил было указано Льюисом и Толменом [221] и объяснено на основе теоремы об импульсе потока энергии Лауэ [222].

Если считать, что внешние силы, действующие на рассматриваемый стержень, вызваны наличием на его концах маленьких заряженных шариков, то нужен лишь небольшой шаг, чтобы прийти к экспериментальной установке Троутона и Нобля [8, 220]. Эти авторы исследовали, устанавливается ли заряженный конденсатор перпендикулярно к направлению движения Земли. В системе, в которой конденсатор движется со скоростью и в направлении оси х, электромагнитное поле создает, вообще говоря, момент сил, действующий на конденсатор. Обозначим а угол между нормально к пластине конденсатора и скоростью и, через W — плотность энергии и через Е — электростатическую энергию в сопутствующей системе К. Импульс в сопутствующей системе подсчитывается по (346). Поскольку поле в К состоит только из однородного электростатического поля между пластинами конденсатора, которые ему перпендикулярны, имеем:

и для находим

Подставляя эти выражения в (346), получаем

Если отвлечься от членов высшего порядка, то импульс

параллелен пластинам. Отсюда, согласно находим момент сил:

Тем не менее не наблюдается никакого вращения конденсатора, что с точки зрения принципа относительности ясно заранее. Еще в 1904 г. Лоренц (см. [225]) дал этому факту правильное объяснение, предположив, что упругие силы преобразуются так же, как электромагнитные. Более глубоко представление Лауэ [226], согласно которому импульс потока упругой энергии вызывает момент сил, в точности компенсирующий электромагнитный. Лауэ [227] исследовал также в деталях, как образуется момент сил (350). Для этого существенно, что в К, наряду с силами перпендикулярными к пластинам, на каждую пластину действуют силы, перпендикулярные к ее краю и лежащие в одной с ней плоскости. Если пластины имеют форму прямоугольника со сторонами а и b, то перпендикулярно к краю b действует сила перпендикулярно к краю а — сила Если, далее, край b перпендикулярен к скорости и, то силу можно не учитывать. Приложенные в системах силы и соответственно изображены на рис. 4.

Рис. 4

Путем преобразования сил к системе К сразу же получается момент Пара сил вызывает половину момента сил; обе пары сил обусловливают другую половину. Выражение (347) для импульса также легко проверяется.

Оказывается, далее, что

откуда снова следуют формулы (349).

Момент сил возникает при равномерном движении и при других распределениях заряда, а не только в случае конденсатора и двух точечных зарядов на стержне. Так, момент сил возникает в случае эллипсоида [228]. Однако, согласно теории относительности, вращение не возникает никогда. В случае, если в соответствующей системе К поле сферически-симметрично, то в К импульс параллелен и и согласно (344Ь) момент сил исчезает. Здесь

и из следует также, что каждый из трех последних интегралов равен . Поэтому согласно (346)

(О применениях этих соотношений к отдельному электрону см. гл. V.)