§ 18. Евклидова геометрия и геометрия пространства с постоянной кривизной

Равенство нулю тензора кривизны в евклидовом пространстве очевидно (см. § 16). Однако уже Риман в своей диссертации указал, что верна и обратная теорема: если тензор кривизны равен нулю, то пространство евклидово, т. е. тогда можно найти такую систему координат, в которой постоянны. Впервые обстоятельное доказательство этого утверждения дал Липшиц [87]. Очень изящное и наглядное рассуждение было проведено Вейлем [95]. В общем случае результат параллельного переноса вектора существенно зависит от пути, по которому он выполняется. Этого не будет, только если компоненты вектора могут быть определены не только как функции s, но и как функции координат так чтобы всюду и для всех направлений кривых выполнялись уравнения (64). Это означает, что должны удовлетворять дифференциальным уравнениям

Если искать условия их интегрируемости, то можно убедиться, что они совпадают с равенством Если, таким образом, тензор кривизны равен нулю, то система уравнений разрешима, перенос направления не зависит от пути, и можно сказать, что уравнения интегрируемы. Употребим теперь вместо заданной системы координат К с базисными векторами новую координатную систему К с базисными векторами обладающими следующими свойствами: в любой точке Р; должны быть параллельны в любой второй точке Компоненты в системе К (см. § 10) должны поэтому удовлетворять на основании (114) уравнениям

Такой выбор координат возможеп потому, что вследствие (115) условия интегрируемости (63) выполняются.

Действительно, выражения

симметричны относительно . В каждой точке имеется поэтому векторов, именно базисных векторов компоненты которых в К остаются постоянными при любой бесконечно малой трансляции. Так как произвольный вектор х есть линейная функция и так как бесконечно малая трансляция по § 14 аффинна, компоненты при этом не меняются. Это, однако, возможно, только если коэффициенты связности в К исчезают, т. е. если постоянны, что может быть легко подтверждено и прямым вычислением Этим самым доказательство закончено.

Среди римановых пространств можно выделить класс таких пространств, для которых кривизна не зависит ни от двумерного направления, ни от точки и в которых, следовательно, по (104) имеют место соотношения

где а — постоянная величина (положительная или отрицательная). После свертывания отсюда получается

и

Для будущих приложений заметим, что тензор определяемый (109), приобретает при этом вид

При мы возвращаемся к случаю нулевой кривизны.

Примером пространства постоянной кривизны является сфера измерений, рассматриваемая как гиперповерхность евклидова пространства измерений. Когда речь идет только о ее внутренней метрике, обычно говорят о сферическом пространстве

Мы имеем в этом случае:

Суммирование по индексам производится от 1 до . Введем сначала в качестве координат точек на сфере представляющие собой параллельные проекции точек сферы на экваториальную плоскость Исключая из (120) при помощи (121) получаем

Экватор является особий линией этой координатной системы. К каждому набору значений коордннат, кроме тех, которые соответствуют точкам экватора, относятся две точки сферического пространства Можно также проектировать точки сферы из центра на плоскость чтосоответствует преобразованию координат

Опустив в конечном результате штрихи, получим для линейного элемента выражение

Эта система координат охватывает только половину сферы, прпчем экватору соответствуют координаты Аналогичным образом можно ввести координаты с помощью стереографической проекции

причем в конечном результате снова опущены штрихи. Эта система имеет особую точку в этой точке .

Четвертая форма линейного элемента получается при введении нормальных координат, что достигается подстановской

в (122). При этом получаем

Так как

(при суммировании слева каждая комбинация ) учитывается только один раз), линейный элемент можно также записать в виде

Таким образом, — действительно нормальные координаты. Можно эти же выражения получить «окольным» путем, исходя из полярных координат. Начало координат системы у соответствует точке соответствует особая точка, так как всем значениям которые удовлетворяют условию соответствует одна и та же точка Мы получим все точки сферы, если ограничим условием

Из (128а) следует на основании (99) и (100), что в точке кривизна пространства не зависит от двумерного направления и что в этой точке удовлетворяется соотношение (116). Коэффициент а имеет, в силу

и в силу (100), значение

То, что соотношения (116) с одним и тем же значением

а удовлетворяются во всех точках сферического пространства, следует из существования группы движений которая содержит преобразования, позволяющие перевести какую угодно точку и связанный с ней -мерный базис» в другую точку и другой -мерный базис, такие, что при этих преобразованиях длины всех кривых остаются неизменными. Обозначим S переход (127) от системы евклидова i к нормальным координатам сферического пространства, а Т обозначим -параметрическую группу ортогональных преобразований системы Тогда

и есть искомая группа движений. Вследствие этого линейный элемент имеет одинаковую форму во всех системах нормальных координат, где бы ни находилась в сферическом пространстве их начальная точка. Отсюда следует, что соотношения (116) и (130) удовлетворяются во всем сферическом пространстве. Это можно, конечно, подтвердить и непосредственным расчетом.

Пространство очевидно, обладает постоянной кривизной, когда оно характеризуется следующими свойствами: в некоторой (конечной) окрестности каждой точки можно определить систему координат так, что линейный элемент в ней имеет одну из четырех эквивалентных форм (120), (122), (124) или (128); а не обязательно должна быть положительной. Если а отрицательна, то в формулах всюду можно заменить величиной и

Риман в своей диссертации (см. [76]) указал, а Липшиц [87] впервые доказал, что и наоборот, если всюду удовлетворяется соотношение (116), то следуют упомянутые свойства Фермейль [90] при помощи разложения линейного элемента в степенной ряд в нормальных координатах дал простое доказательство теоремы, заключающееся в том, что задание тензора кривизны однозначно определяет форму линейного элемента в нормальных координатах. Указание на эту теорему имеется уже у Римана. В физике эта обратная теорема пока не нагйла никакого применения.

Для космологических вопросов (см. гл. IV) имеет значение следующее обстоятельство: форма линейного элемента не определяет однозначно метрических свойств

пространства в целом. Дифференциально-геометрическое рассмотрение должно быть дополнено в этом пункте проективным. Последнее позволяет для пространств постоянной кривизны сразу ответить на вопрос о свойствах всего пространства в целом. Например, как впервые указал Клейн, для пространства постоянной положительной кривизны имеются две возможности, в зависимости от того, соответствует ли системе значений координат в представлении (122) одна или две точки пространства. В первом случае пространство называется сферическим, во втором случае, на основании проективной терминологии, — эллиптическим. Оба вида пространств являются хотя и неограниченными, но конечными в римановом смысле. Общий объем эллиптического пространства, очевидно, в два раза меньше, чем общий объем сферического пространства той же кривизны. Совершенно такие же соотношения имеют место для полной длины (замкнутых) геодезических линий обоих пространств. Для пространств постоянной отрицательной кривизны число различных возможностей значительно больше. Особенно замечательна поверхность Клиффорда, которая показывает возможность конечного многообразия с нулевой кривизной. Вопрос о геометрии в целом многообразий постоянной кривизны назван Киллингом проблемой клиффорд-клейновских пространственных форм.