§ 4.2. Физический смысл постоянной «хи»

В § 3.8 мы показали, что историю распределения вещества можно представить в пространстве-времени Минковского, задав 4-вектор скорости, плотность и давление и потребовав затем, чтобы тензор энергии распределения вещества удовлетворял уравнениям (3.805). Уравнения Эйнштейна, однако, содержат в себе нечто большее, поскольку они связывают тензор энергии с метрическим тензором пространства-времени

Поэтому можно поставить вопрос, что произойдет, если эти уравнения применить к пространству-времени Минковского? Так как пространство-время Минковского плоское, тензоры — 0 и уравнения (4.106) принимают вид

    (4.201)

Метрический тензор дается формулой (3.701), а тензор энергии — (4.104). Вспоминая, что используются для циклической подстановки индексов, и пренебрегая условием суммирования, получаем следующие выражения для десяти уравнений (4.201):

    (4.202)

к которым следует добавить уравнение (4.103), а именно

    (4-206)

Уравнения (4,203), (4.205) и (4.206) показывают, что

так что распределение вещества находится в покое относительно данной инерциальной системы. Уравнения (4.202) и (4.204), чем бы не являлась постоянная дают

Таким образом, плотность и давление постоянны и обязательно имеют противоположные знаки, за исключением случая когда они равны нулю. Таким образом эти результаты являются либо физически неприемлемыми, либо тривиальными. Отсюда вытекает, что уравнения Эйнштейна, примененные к пространству-времени Минковского, не дают

осмысленных результатов, и что физическая интерпретация постоянной х таким путем не может быть получена.

Иная ситуация возникает, когда уравнения Эйнштейна применяются к риманову пространству-времени, метрический тензор которого мало отличается от метрического тензора пространства-времени Минковского. Рассмотрение космологической постоянной мы отложим до гл. VI и будем пока считать, что космологическая постоянная пренебрежимо мала. Примем также, что метрика совпадает с метрикой ортогонального, статического и изотропного пространства-времени

где

    (4-207)

причем s — малая постоянная, квадратом и более высокими степенями которой можно пренебречь, а и h — функции только трех пространственных координат. Как и в случае пространства-времени Минковского, мы будем предполагать что s и имеют размерность времени, а — размерность длины. Поэтому являются безразмерными величинами. В силу (4.207),

и, следовательно,

Поэтому тензор энергии (4.104) имеет следующие составляющие:

    (4.209)

Вычисление тензора Эйнштейна для этого частного случая проще всего провести, если исходить из тензора Римана—Кристоффеля (2.504). Поскольку в символы Кристоффеля входят только частные производные от символы Кристоффеля будут порядка ; следовательно, произведения символов Кристоффеля будут иметь порядок и ими можно пренебречь. Таким образом (2.504) сводится к

Компоненты этого тензора также имеют порядок . Тензор Риччи равен

    (4-211)

так как члены порядка в в выражении (4.208) будут давать члены порядка в Используя (4.207), (4.210) и (4.211) и полагая

мы получаем, что

Поднимая один нижний индекс, имеем

и, следовательно,

Поднимая оба нижних индекса, получим

Поэтому, используя (4.106), (4.209), (4.213) и (4.214), получаем следующие уравнения Эйнштейна с

    (4.215)

где в силу (4.103) и (4.207) 4-вектор скорости удовлетворяет условию

Уравнения (4.126) и (4.219) показывают, что

так что распределение вещества находится в покое относительно используемой координатной системы. Поэтому, согласно (4.218),

    (4.220)

и три уравнения (4.217) приобретают вид

    (4.221)

На этом этапе появляется типичное условие, которое будет весьма важным впоследствии. Необходимое условие совместности трех уравнений (4.221) имеет вид

что является ограничением возможного выбора функций и h, диктуемым алгебраической формой тензора энергии в комбинации с априорным выбором формы (4.207) для метрического тензора. Возникающие таким образом уравнения мы будем называть условиями, совместности-, они не являются тензорными уравнениями, но играют фундаментальную роль в приложениях уравнений Эйнштейна. Уравнения (4.220) и (4.222), очевидно, удовлетворяются при

и остающиеся уравнения Эйнштейна, согласно (4.215) и (4.221), имеют вид

    (4.224)

Последнее из этих уравнений показывает, что давление равно нулю в пределах принятой нами степени точности. Теперь мы предположим, во-первых, что в общей теории относительности должны фигурировать, помимо , две мировых постоянных к и с; и, во-вторых, что общая теория относительности должка сводиться к ньютоновской теории тяготения, когда с отождествляется с Первое предположение удовлетворяется, если положить что находится в согласии с предположением о малости этой постоянной. Второе предположение совместимо с наличием множителя в постоянной у. и с предположением, что и h не содержат множителей порядка Тогда ньютоновским приближением к (4.223) служит

— уравнение, которое тождественно уравнению Пуассона

    (4.225)

последнее равенство определяет . Если вместо V используется потенциал , то мы имеем

Метрика пространства-времени статического распределения вещества, ньютоновский потенциал тяготения которого есть имеет, в силу (4.207), вид

    (4.226)

при условии, что были опущены квадраты и более высокие степени при раскрытии уравнений Эйнштейна.