С. МЕХАНИКА И ОБЩАЯ ДИНАМИКА

§ 37. Уравнения движения. Импульс и кинетическая энергия

Релятивистская механика исходит из предположения, что в системе в которой материальная точка в рассматриваемый момент покоится, справедливы уравнения движения старой механики

Принцип относительности позволяет, далее, примепяя преобразование Лоренца к (313), однозначно установить законы движения в любой другой системе К. При этом, однако, не устанавливается, что нужно определить как силу в системе К, так как в трех уравнениях движения остается вначале одинаковый произвольный фактор, который может как угодно зависеть от скорости. Имеются два существенно различных пути для устранения этой неопределенности.

В первом случае используются электродинамические соображения. Так, если принять лоренцево выражение для пондеромоторной силы, действующей на движущийся сколь угодно быстро заряд, то при этом задаются также формулы преобразования для силы (см. § 29). Тот факт, что все силы должны преобразовываться одинаковым способом, следует из того, что если две силы уравновешиваются в системе К, то они должны уравновешиваться и в любой другой спстеме К. Формулы (213), (214) и (215) могут, таким образом, быть обобщены на любые силы. На месте вектора (217) стоит четырехмерный вектор плотности силы-мощности

перпендикулярный к четырехмерной скорости:

    (315)

Уравнения движения опять имеют вид

где — инвариантная плотность массы покоя. Можно также ввести определяемую формулой (219) силу Минковского и записать уравнения движения в виде (220). Из уравнений

следует, что импульс [135]

а кинетическая энергия

Можно стремиться выбрать здесь постоянную так, чтобы Екин исчезала для покоящейся материальной точки. Удобнее, однако, положить эту постоянную равной нулю. Тогда энергия покоящейся материальной точки равна , а в общем случае

Для малых путем разложения в ряд получаем:

в согласии со старой механикой. Целесообразность установленных здесь выражений ясна из того, что в этом случае величины

образуют компоненты четырехвектора, именно,

Отсюда следует, что для величин G и Е справедливы в точности те же формулы преобразования, что и для замкнутой электромагнитной системы без зарядов (световой волны; см. (228)):

с соответствующими обратными формулами. Эти формулах справедливы также для импульса и энергии системы свободно движущихся частиц.

Как и следовало ожидать, релятивистские уравнения движения и выражения для импульса и энергии при малых скоростях переходят в соответствующие уравнения старой механики. Более того, отклонение релятивистской механики от обычной — второго порядка относительно . В этом, по Лауэ [198], причина того, что старая электронная теория, опиравшаяся на обыкновенную механику, правильно объясняла все эффекты первого порядка.

Минковский [64] предложил также другую важную форму записи уравнений движения (316). Введем кинетический тензор энергии-импульса

Его пространственные компоненты представляют собой тензор потока импульса, смешанные компоненты (с точностью до фактора -плотность импульса, а временная — плотность энергии. В силу уравнения непрерывности

    (323)

уравпения движения записываются в виде

Отметим здесь еще, что уравнения движения (317) в случае движения материальпой точки под действием постоянной силы приводят к рассмотренному в § 26 гиперболическому движению.