§ 62. Изменение уравнений поля. Относительность энергии и пространственно-замкнутый мир

а. Принцип Маха. При рассмотрении в § 58 движения перигелия Меркурия мы не указывали особо, чем физически определяется применявшаяся там система , относительно которой должно измеряться движение перигелия. Эта система отличается от всех других, равномерно вращающихся относительно нее систем отсчета К, сферической симметрией -поля и прежде всего поведением в пространственной бесконечности; именно, в

бесконечности принимают их нормальные значения. Граничные условия в пространственной бесконечности, которые нужно ввести для полного определения тензора по заданным положениям и скоростям масс или, вообще, — по материальному тензору энергии выделяют определенную систему из всех других. При рассмотрении вопроса об относительности центробежной силы (см. § 60) эта трудность дала себя знать особенно сильно. Хотя подобное выделение некоторых систем координат с помощью граничных условий, вообще говоря, несовместимо логически с постулатом общековариантности, однако противоречит духу релятивистской теории и должно рассматриваться как большой теоретико-познавательный недостаток. Эйнштейн [262] поразительно осветил его с помощью мысленного эксперимента с двумя жидкими шарами, вращающимися относительно друг друга вокруг соединяющей их линии. Этот недостаток остается не только в классической механике и в специальной теории относительности, но и в развитой выше, базирующейся на уравнениях (401) теории тяготения. Он будет устранен лишь тогда, когда граничные условия будут сформулированы в общековариантной форме.

Мы выставляем поэтому следующее требование: -поле должно определяться однозначным и общековариантным образом при задании одних только значений тензора энергии Поскольку Мах [328] ясно осознал именно этот указанный выше недостаток механики Ньютона и заменил абсолютное ускорение ускорением относительно остальных масс Вселенной, Эйнштейн [329] назвал этот постулат принципом Маха. Этот принцип, в частности, требует, чтобы инерция материи определялась только окружающими его массами и таким образом исчезала, если все остальные массы будут устранены, так как с релятивистской точки зрения не имеет никакого смысла говорить о сопротивлении абсолютному ускорению (относительность инерции).

Замечания о статистическом равновесии звездной системы. -член. Даже если отвлечься от вопроса о граничных условиях в пространственной бесконечности, мы сталкиваемся с дальнейшей трудностью при применении употреблявшихся до сих пор уравнений поля к системе неподвижных звезд как целому. Преодоление этой трудности принесет также выполнение требогания, поставленного в п. а.

Еще Нейман [330] и Зеелигер [331] указали, что закон всемирного тяготения Ньютона может быть строго применен лишь в том случае, если плотность массы Вселенной при стремится к нулю быстрее, чем В противном случае сила, действующая на материальную точку со стороны всех масс Вселенной, будет неопределенной. В следующем сообщении [332] Зеелигер обсуждает возможность того, что плотность массы конечна на любых расстояниях, а ньютоыов потенциал заменен быстрее убывающим с расстоянием потенциалом

Этот потенциал был уже в другой связи математически исследован Нейманом 1333]; из его результатов вытекает, что уравнение Пуассона

должно быть заменено уравнением

Тогда трудность, возникающая в теории Ньютона, исчезает.

Против первой возможности — строгой справедливости закона Ньютона и достаточно быстрого уменьшения плотности материи в бесконечности — можно, следуя Эйнштейну, выставить существенные аргументы, если стать на ту точку зрения, что вся звездная система должна находиться в статистическом равновесии. Если бы потенциал на больших расстояниях был конечен (следовательно, плотность массы достаточно быстро уменьшалась), то целые небесные тела могли бы покидать звездную систему и последняя «пустела» бы по законам статистической механики до тех пор, пока полная энергия системы оставалась бы больше работы, необходимой для удаления одного из небесных тел в бесконечность. Исключенный еще Нейманом и Зеелигером случай бесконечных значений потенциала на очень больших расстояниях (это имеет место, если плотность массы не убывает достаточно быстро при ) по Эйнштейну исключается потому, что он противоречит опытному факту довольно малых скоростей звезд. В случае справедливости (В) все эти затруднения исчезают, так как тогда динамически возможны равномерное распределение материи с плотностью

и существование постоянного в пространстве потенциала, который оказывается равен

В релятивистской теории положение вполне аналогично имеющему место в теории Ньютона. Если придерживаться уравнений (401), то оказывается невозможным выбрать граничные условия так, чтобы одновременно избежать «опустения» звездной системы (т. е. выхода из нее звезд) и не вступить в противоречие с тем фактом, что скорости звезд незначительны. Представляется, однако, возможным изменить уравнения поля способом, вполне аналогичным переходу от (А) к (В). Действительно, при установлении уравнений поля в § 56 мы просто опустили в (400) пропорциональный член чего не требовали ни постулат общековариантности, ни закон сохранения энергии-импульса материи. Теперь мы можем снова ввести этот член в (401):

где вместо следуя Эйнштейну, пишем — . После свертывания отсюда получается, что

и

Если основываться на этих модифицированных уравнениях, то легко показать, что заполненный материей постоянной плотности мир находится в равновесии. Кроме того, оказывается, что этот мир является сферическим или эллиптическим, т. е. пространственно-замкнутым. Если сделать, например, частное предположение:

то, согласно § 18, (117), (118), (119) и (130):

Далее, остальные и уравнения (452), таким образом, удовлетворены, если

Из уравнений поля (401), напротив, в силу следовало бы также

Поскольку в этом примере, а также, вероятно, и для других, более общих распределений массы мир пространственно замкнут, необходимость в граничных условиях в бесконечности отпадает. Таким образом уравнения поля (452) не только разрешают противоречия между малыми скоростями звезд и статистической механикой, по и устраняют упомянутый теоретико-познавательный недостаток, который был присущ теории в предыдущей форме. Решение (454) уравнений поля передает средние свойства метрики мира. Лишь вблизи отдельных масс заметно отличаются от значении (454). Для системы масс, размеры которой малы по сравнению с исключительно большим радиусом кривизны мира, например для Солнечной системы, Х-членом можно пренебречь, и решения уравнений поля (401) сохраняют свою силу. Принцип Маха также, по-видимому, выполняется при применении уравнений поля (452), хотя общее доказательство этого утверждения еще не найдено. Именно, хотя уравнения (401) при исчезновении материи имеют общее решение , для уравнений (452) это не так; в этом случае должны равняться нулю. В совершенно пустом пространстве вообще не может быть никакого -поля; при этом не было бы возможно ни распространение света, ни существование масштабов и часов. С этим связано также выполнение постулата относительности инерции. Следует, однако, заметить, что де Сигтер [335] нашел для совершенно пустого пространства решение уравнений (452), отличное от решения именно, он нашел решение в виде четырехмерного, псевдосферического

мира:

Это решение отлично от «цилиндрического мира» Эйнштейна, определяемого формулами (454). Эйнштейн [336], однако, высказал утверждение, что решение де Ситтера не везде регулярно, так что, собственно, представляет собой не -поле пустого мира, а поле мира с поверхностным распределением материи. К такому же результату приходит Вейль [337]. Однако войрос еще не решен окончательно.

Астрономические следствия уравнений поля (452) обсуждались де Ситтером [338] и Лензе [339].

у. Энергия замкнутого мира. Уравнения (452), так же как уравнения (401), могут быть получены из вариационного принципа. Для этого нужно только к функции действия (404) добавить член . В результате получаем

Закон сохранения энергии снова справедлив в форме

где вместо ставят величины

Эти соображения содержатся в цитированной (см. с. 349) работе Эйнштейна и подробнее развиты Клейном.

Далее, необходимо выяснить, справедлив ли для полной энергии замкнутого мира указанный в § 61 закон независимости интегральных значений энергии от координатной системы. Доказательство этого закона здесь должно быть проведено заново, так как в прежнем доказательстве

предполагалось, что вне рассматриваемой замкнутой системы очевидно, что в случае замкнутого мира это не так. Эйнштейн [326] и Клейн [ИЗ], занимавшиеся этим вопросом, свели задачу к доказательству равенства нулю некоторых поверхностных интегралов. Последнее для специальных систем координат было показано уже Эйнштейном, а в общем случае доказано Громмером [340]. Кроме того, оказывается, что как полный импульс, так и полная энергия замкнутого мира, поскольку они обусловлены гравитационным полем, равны нулю:

    (462)

Однако, если вместо компонент величины Эйнштейна пользоваться компонентами Лоренца (см. § 61), содержащими также вторые производные то, как показал Клейн, полная энергия гравитационного поля уже не будет равна нулю.