§ 66. Теория Эйнштейна

С совершенно другой точки зрения подошел к вопросу о природе материальных частиц Эйнштейн. Уравнения поля (401) и (452) были основаны на предположении о существовании материального тепзора энергии-импульса, который удовлетворяет уравнению

Мы хотим сохранить здесь это предположение. Поскольку тензор энергии Максвелла (см. § 54)

удовлетворяет уравнению (341а) лишь в пространстве, лишенном зарядов, в нужно ввести еще другие члены. Ми принял, что эти члены — электрического происхождения,

т. е. являются функциями Напротив, Эйнштейн считает, что материальные частицы сохраняют устойчивость только из-за наличия гравитационных сил, т. е. что добавочные члены должны зависеть от их производных. Хотя максвелловский тензор теперь не может считаться полным тензором энергии материи и не удовлетворяет уравнению (341а), Эйнштейн и здесь, как в § 56, исходит из предположения, что этот максвелловский тензор должен быть пропорционален дифференциальному выражению второго порядка, построенному из одних Это простое предположение является для теории Эйнштейна решающим. Отсюда следует, с учетом требования общековариантности (см. § 56), что уравнения поля должны иметь вид: Прибавлять сюда еще один член, пропорциональный оказывается излишним. В силу того, что для уравнение (341а) места не имеет, мы уже не имеем права, как раньше, положить напротив, для определения с существенно другое обстоятельство. Согласно (223) скаляр равен нулю; поэтому, для того чтобы тождественно исчезал также и скаляр левой части уравнений поля, с должно равняться — U и, таким образом, уравнения поля принимают вид

Кроме того, должны оставаться в силе уравнения электронной теории (203), (208):

Простой подсчет показывает, что (203) и (492) содержат ровно на четыре независимых уравнения меньше, чем неизвестных, как и должно быть в общей теории относительности. Заметим, что в этом случае уравнения поля как будто не могут быть получены из принципа действия. Поскольку дивергенция на основании (203) и (208) равна — т. е. равна вектору лоренцевой силы с обратным знаком, а дивергенция равна нулю, дивергенция уравнений поля (492) приводит к соотношению

Оно показывает, что в теории, основанной на уравнениях поля (492), кулоновские силы отталкивания действительно уравновешиваются гравитационным давлением. Если положить то, кроме того, имеем

т. е. остается постоянной на мировой линии некоторого определенного элемента материи. Согласно (493) в пространстве без зарядов и, следовательно,

    (495)

Внутри материальных частиц R уменьшается от значения ко все более и более малым значениям, вплоть до центра частицы. Величина согласно (493) представляет собой потенциальную энергию гравитационного взаимодействия, обеспечивающего равновесие частицы.

Мы должны теперь найти тензор энергии-импульса материи Для этого тензора уравнение (452), содержащее -член, должно сохраняться. Согласно (453) здесь в пространстве без материи Сравнивая с (495), находим, что

Важнейшим преимуществом новой формулировки является то обстоятельство, что постоянная здесь присутствует не в самом основном законе, а играет роль постоянной интегрирования. Уравнения (452) и (492) запишутся теперь соответственно в виде

Сравнивая, получаем

Вследствие (492) этот тензор удовлетворяет уравнению (452), а следовательно, также уравнению (341а); кроме того, он исчезает в пространстве без материи. Поэтому и с физической точки зрения представляется вполне оправданным называть этот тензор тензором энергии-импульса Материи. Плотность энергии материи — слагается из двух положительных частей, связанных соответственно с йлектромагпитпым и гравитационным полями. Легко

видеть, что пространственно-замкнутый мир с постоянной покоящейся плотностью массы является решением новых уравнений поля. Все соотношения § 62, остаются неизменными. Электромагнитный тензор вычисляется в общем виде из (497)

следовательно, в нашем случае,

Энергия пространственно-замкнутого мира состоит на три четверти из энергии электромагнитного поля и на одну четверть из энергии гравитационного поля. Электромагнитная часть полной энергии в точности равна вычисленной в § 63 для электрона на основе специальных, вовсе не обязательно выполняющихся предположений.

Если попытаться на основе дифференциальных уравнений (203), (206), (208) и (492) определить поле материальной частицы, то окажется, что в случае статических сферически-симметричных решений не хватает одного уравнения. Согласно развиваемой здесь теории Эйнштейна любое статическое сферически-симметричное распределение электричества находится в равновесии. Таким образом, и эта теория, несмотря на удовлетворительность ее основных положений, не в состоянии решить проблему материи.