§ 13. Переход к геометрии Римана

Перейдем теперь к изложению теории инвариантов группы всех точечных преобразований. Для этого необходимо сначала рассмотреть определение длины и основные положения общей геометрии Римана. Старые геометрии Болиаи и Лобачевского, отказываясь от евклидова постулата о параллельных прямых, сохраняли аксиому о свободном движении твердой системы точек (аксиома конгруэнтности) и являлись, таким образом, геометриями пространства с постоянной кривизной. Исходя из проективной геометрии, также нельзя прийти к метрике более общего вида. Возможность построения ее впервые была рассмотрена Риманом [76]. Изменения представлений о твердом теле, вносимые специальной и общей теорией относительности, привели к отказу от казавшейся до тех пор очевидной аксиомы конгруэнтности и к необходимости в основу рассуждений о пространстве и времени положить общую геометрию Римана.

Предположим, что в конечной окрестности каждой из точек многообразия, которое мы рассматриваем (и которое иногда для краткости будем называть пространством), может быть введена однозначная и непрерывная система координат Относительно всего многообразия, однако, мы не высказываем этого предположения. Число измерений многообразия оставим пока произвольным. Исходным понятием метрики является длина

кривой, заданной уравнением

где t — какой-нибудь параметр. Результаты математического исследования можно будет применять к многообразиям, с которыми приходится иметь дело в действительности лишь после того, как длина s будет физически определена. В мы должны во всяком случае представить себе твердый масштаб замененным идеально гибкой измерительной нитью.

Таким образом, нам нужно сделать относительно какие-либо приемлемые предположения. Поскольку подобные предположения делаются относительно а не относительно s, риманова геометрия является дифференциальной геометрией, в противоположность евклидовой геометрии, геометрии в целом. В качестве первой аксиомы мы примем следующую.

Аксиома I. Величина в данной точке кривой зависит только от производных в этой точке и не зависит от высших производных и от остального хода кривой.

Так как длина дуги s не зависит от выбора параметра t, то должна быть однородной функцией первой степени от величины . За расстояние между двумя точками мы примем длину дуги кратчайшей из соединяющих их линий. Назовем одну из таких линий перпендикулярной к другой, если расстояние между какой-нибудь точкой Р линии 1 и точкой пересечения S обеих линий меньше, чем расстояние от Р до любой другой точки Q линии 2. Согласно аксиоме I это обстоятельство зависит не от положения точки Р на линии 1, а только от производных в точке S. В этом случае говорят также, что направление 1 перпендикулярно к направлению 2. Вообще говоря, отсюда еще не следует, что и направление 2 перпендикулярно к направлению 1. Вид функции мы уточним второй аксиомой.

Аксиома II. Величина есть квадратный корень из некоторой квадратичной формы производных

что можно написать короче в виде

Это равенство было написано еще в § 8. Аксиома II может рассматриваться как пифагорова теорема для двух бесконечно близких точек. Именно это ограничение области ее применимости характеризует переход от геометрии в целом к геометрии в малом. Вследствие аксиомы II ортогональность двух направлений является взаимной. Обратно, если ортогональность линий всегда взаимна, то элемент линии должен иметь форму (19) [77]. Можно поэтому аксиому II заменить следующей.

Аксиома II. Если направление 1 в точке Р ортогонально к направлению 2, то направление 2 ортогонально к направлению 1.

Если мы положим в основу аксиому II, то в случае вернемся к гауссовой геометрии произвольных кривых поверхностей. Подобно тому как эти поверхности можно рассматривать как поверхности в евклидовом пространстве каждое риманово пространство можно рассматривать как подпространство в евклидовом соответствует числу компонент Однако можно получить все важные для теории относительности геометрические положения и не используя этого факта. Угол (1, 2) между двумя направлениями в точке Р можно определить точно так же, как и в евклидовом пространстве, только прямые следует заменить бесконечно малыми отрезками. Аналогично с (32) находим, что

Зная линейные элементы по независимым направлениям (т. е. по направлениям, для которых -строчные детерминанты из величин не равны нулю), можно определить в любой точке. При произвольном преобразовании координат

дифференциалы преобразуются однородно и линейно:

где

Обратно:

где

    (61)

Такие соотношения имеют место по (22) и (23) для аффинного преобразования координат. Отсюда очевидна связь общей группы преобразований с аффинной группой. Существенным, однако, обстоятельством является то, что не могут быть произвольными функциями координат, а должны удовлетворять условиям интегрируемости

или эквивалентным им обратным соотношениям

В одной же точке могут принимать произвольные значения. До тех пор, пока мы имеем дело с соотношениями между тензорами в одной и той же точке, а не с дифференцированием и интегрированием тензорного поля, можно все тензорные операции аффинной группы непосредственно переносить на тензоры общей группы преобразований. Все это иначе можно выразить следующим образом: в тензорной алгебре риманово пространство в рассматриваемой точке можно заменить касательным пространством, которое получается, если положить коэффициенты всюду постоянными и равными величинам которые они принимают в римановом пространстве в точке Так как форма инвариантна, являются ковариантными компонентами тензора второго ранга. Правила перехода к контравариантньтм компонентам а также правила образования элемента объема могут быть также взяты из тензорной алгебры.