§ 35. Тензор энергии-импульса и пондеромоторная сила феноменологической электродинамики. Джоулево тепло

Припцип относительности позволяет сделать однозначные заключения о тензоре энергии-импульса и пондеро-моторной силе для движущихся тел, если известны

соответствующие выражения для неподвижных тел. Относительно этих последних выражений различные авторы делают различные предположения, и вопрос о том, какие из них предпочесть, не может считаться окончательно ясным. Рассмотрим вначале те следствия теории относительности, которые не зависят от специального выбора выражений для тензора энергии.

Плотность энергии W, поток энергии S, плотность импульса g и компоненты напряжений , так же как для поля в вакууме, соединяются в тензор

О симметрии этого тензора вначале не делается никаких предположений. Уравнения

определяют пондеромоторную силу и закон энергии так же, как уравнения (D) и (Е) в § 30. В уравнении (289) Q означает джоулево тепло, выделяемое в единицу времени в единице объема, и А — работу, отнесенную к единице времени и объема:

В системе К, в которой вещество в рассматриваемый момент покоится, А исчезает. Уравнения (288) и (289) естественно соединяются в четырехмерное векторное уравнение

Компоненты имеют тогда значения

Отсюда следует, что здесь не перпендикулярно к

Поскольку правая часть этого уравнения, так же как и левая, должна быть инвариантной, то

Вследствие инвариантности четырехмерного объема, эта формула справедлива также для всей теплоты, выделенной при определенном процессе, в согласии с релятивистской термодинамикой (см. § 46). Здесь формула (293) является следствием предположения, что плотность силы может быть выражена через компоненты напряжений и плотность импульса так, как это сделано в формуле (288), а также предположения о тензорном характере

То, что ведет к своеобразной дилемме. Уравнения движения могут иметь форму (221):

только в том случае, если так как левая часть, умноженная скалярно на тождественно равна нулю. Мы оказываемся, таким образом, перед альтернативой допустить, что либо несправедливо уравнение (290) для силы, либо несправедливы уравнения движения (221). Минковский встал на первый путь. Он ведет, однако, к отличной от (293) формуле преобразования для джоулева тепла и, следовательпо, к противоречию с требованиями релятивистской электродинамики. Правильное решение вопроса, найденное Абрагамом [175], заключается в следующем. В общей релятивистской динамике показывается, что всякой энергии должна быть приписана инертная масса (см. § 41 и 42). Поэтому, если выделяется теплота, то плотность массы покоя не остается постоянной и уравнения движения должны записываться в виде

Отсюда, путем скалярного умножения на следует (с учетом (292))

и, таким образом,

в согласии с законом инерции энергии (см. § 41).

Из (294) следует замечательный факт, что скорость тела не всегда должна меняться, если на него действует сила [177]. Рассмотрим, например, проводник с током, покоящийся в К. Так как стационарный ток с точки зрения системы К не создает силы, действующей на проводник в целом, то последний остается в покое. Несмотря на это, в системе К на него, согласно (294), действует сила (аналогичный случай встречался нам еще в § 32, ).

Перейдем к обсуждению различных выражений для тензора импульса-энергии Что касается неподвижных тел, то все авторы сходятся на том, что для среды без гистерезиса плотность энергии W и поток энергии S равны

Однако в то время как Максвелл и Хевисайд предполагают, что трехмерный тензор напряжений имеет вид

Герц пользуется выражением, симметричным относительно и k:

которое для анизотропных тел (кристаллов) отличается от (297). Точно так же и для плотности импульса g возможны два выражения, или

что в однородной изотропной среде согласно (296) иначе можно написать

или

Если выражения для W, S, Т и g в неподвижных телах заданы, то соответствующие величины для движущихся тел однозначно определены, так как компоненты тензора в любой системе координат могут быть получены из значений его компонент в одной определенной системе. В соответствии с указанной выше неоднозначностью выражений для 7» и g до сих пор главным образом рассматривались следующие возможности:

1. Выражение Минковского опирается на выражения (297) и (299) для неподвижных тел. Как легко показать, тогда

и выражения (296), (297), (299) остаются справедливыми и для движущихся тел. Сохраняется также имеющее место в пустоте условие (223):

Четырехмерная сила получается из 5? по (290). В покоящейся системе К ее компоненты равны

Нужно еще отметить, что Деленбах [174] на основе электронной теории пришел как раз к тензору энергии-импульса Минковского, причем дал его в форме, справедливой для произвольной неоднородной и анизотропной среды. Однако этот вывод не достаточно убедителен. Деленбах вывел те же выражения и другим способом — из вариационного принципа, дающего также уравнения поля [179].

2. Выражение Абрагама [175, 180]. Несимметричность выражения Минковского (301) для тензора энергии-импульса ведет к весьма примечательным следствиям, хотя и не противоречащим непосредственно опыту. Так, при этом возникают моменты количества движения, не компенсируемые изменением электромагнитного момента импульса. Поэтому Абрагам построил симметричный тензор энергии-импульса, причем для покоящихся тел им были взяты выражения (298) и (300), Это приводит в случае

однородных и изотропных тел к следующим соотношениям:

где вектор (Ruhstrahlvektor), введенный еще Минковским, определяется так:

    (304)

В сопутствующей веществу системе К компоненты входящих сюда векторов равны

Тождественность трех выражений (303) следует из их совпадения в покоящейся системе К. Соотношение (223) здесь также справедливо для движущихся тел; выражения (296), (298) и (300) для и g здесь уже более не справедливы. Абрагам [175, 180] вычислил соответствующие выражения, а также выражение для пондеромоторной силы. Примененная здесь четырехмерная формулировка предложена Граммелем [181]. Тензор энергии-импульса Абрагама (303) приводит к добавлению члена

к пондеромоторной спле в покоящихся телах. Вследствие малости этого члена вряд ли удастся предложить практически осуществимый experimentum crucis для сравнения теорий Минковского и Абрагама. Заметим еще, что Лауэ [182] присоединяется к предположениям Абрагама.

Очень существенным аргументом в пользу симметрии феноменологического тензора энергии-импульса кажется нам следующее, также принадлежащее Абрагаму [183] соображение. Четырехспла должна равняться среднему значению микроскопической четырехсилы; следовательно, согласно (290) тензор энергии-импульса должен быть

также средним значением микроскопического. Однако при образовании среднего свойства симметрии тензора не теряются (так же как и выполнение соотношения (223)) (см. примеч. 11).

3. Выражение Эйнштейна и Лауба [184]. Эйншттейн и Лауб пришли к выражению для пондеромоторной силы (а следовательно, и к тензору энергии-импульса) в покоящихся телах, совершенно отличному от выражений Минковского и Абрагама. Именно, они нашли, что наблюдаемая сила

действующая на покоящийся проводник с током, состоит из двух частей — из поверхностной силы — напряженность внешнего магнитного поля) и силы

Эта последняя есть собственно объемная сила, в то время как из (302) вытекает, что объемная сила равна -Тензор энергии-импульса, который дают указанные авторы, также соответственно изменен. Соображения Эйнштейна и Лауба оспаривались, однако, Гансом [185].