§ 4.3. Принцип геодезических линий

В § 3.7 было указано, что времяподобная геодезическая линия пространства-времени Минковского представляет историю движения частицы, подчиняющейся первому закону движения Ньютона. Более того, в § 3.3 было показано, что движение частицы в однородном поле тяготения обладает всеми свойствами движения, подчиняющегося первому закону Ньютона, за исключением того, что движение является ускоренным. Поэтому мы можем предположить, что геодезические линии риманова пространства-времени представляют историю движения частицы, подверженной гравитационному ускорению, — предположение, которое может быть подтверждено исследованием геодезических линий пространства-времени (4.226). Так как метрика ортогональна, применимы уравнения (2.807), и уравнения геодезической линии имеют вид

Первое уравнение может быть проинтегрировано и дает

    (4.303)

где — постоянная интегрирования. Но первый интеграл (2.808) в нашем случае имеет вид

и, следовательно,

Таким образом, уравнение (4.302) может быть записано в виде

    (4.304)

Ньютоновское приближение получается при отождествлении с с так что в силу (4.226)

    (4.305)

и в этом случае превращаются в прямоугольные координаты ньютоновской инерциальной системы. Более того, и в силу (4.303) и Поэтому уравнения (4.304) приобретают вид

что представляет собой систему ньютоновских уравнений движения частицы в поле тяготения с потенциалом V, причем собственными гравитационными эффектами частицы пренебрегается.

Этот результат подсказывает следующий постулат: в любом римановом пространстве-времени с метрикой (4.102), представляющем распределение вещества, времяподобная геодезическая линия представляет историю движения частицы (с пренебрежимо малым собственным тяготением) в гравитационном поле этого распределения вещества. Поэтому уравнения

геодезической линии, записанные в римановых координатах § 2.6, которые локально применимы вблизи любой точки-события, принимают вид

движение частицы локально совпадает с движением частицы, подчиняющейся первому закону Ньютона, и применимы результаты § 3.7, относящиеся только к времяподобным геодезическим линиям. Выражаясь физически, можно сказать, что эти локальные римановы координаты образуют систему, которая свободно падает в поле тяготения заданного распределения вещества вблизи рассматриваемой точки-события. Для общей координатной системы в которой метрика риманова пространства-времени имеет форму (4.102), мы определим 4-вектор скорости частицы по аналогии со случаем пространства-времени Минковского как в § 3.7. Если — компоненты единичного тангенциального вектора геодезической линии, представляющей движение частицы, то 4-вектор скорости частицы имеет вид

    (4.306)

и этот вектор, будучи единичным, должен удовлетворять, в силу (2.213), соотношению

    (4.307)

Историю движения светового луча мы представим нулевой геодезической линией риманова пространства-времени. Это очевидное обобщение соответствующего результата для пространства-времени Минковского, если предположить, что результаты § 3.7 справедливы в римановых координатах. Представление истории движения малых пробных частиц и световых лучей соответственно с помощью времяподобных и нулевых геодезических линий представляет собой принцип геодезических линий.

Согласно сказанному выше, принцип геодезических линий предполагает, что распределение вещества дается тензором энергии, соответствующее риманово пространство-время определяется при помощи уравнения Эйнштейна и сама частица ничего не вносит в распределение, под воздействием тяготения которого она движется. Однако саму малую частицу

Таким образом, заряд, содержащийся в определенном элементе объема материи, есть инвариант. Тот факт, что полный заряд частицы не изменяется при ее движении, следует, конечно, прямо из (А) и может считаться надежно установленным эмпирически, так как в противном случае электрическая нейтральность атома нарушалась бы от одного изменения движения его электронов. Соотношение (200b) означает, кроме того, что заряд любого элемента объема остается инвариантным.

Зоммерфельд [129, 65], напротив, исходя из (200 а), следующим образом показывает векторный характер Четырехмерный объем

образуемый пространственным объемом за время является инвариантом. То же относится, с учетом (200 а), к произведению

Так же инвариантное отношение этих величип после умножения на компоненты вектора дает систему определенных уравнением (198) величин образующих, таким образом, также четырехвектор.

С помощью вектора используя (190) и (190 а), можно придать s простой вид

Уравнение непрерывности принимает тогда форму

О доказательстве векторного характера s на основе уравнений Максвелла см. следующий параграф; об истолковании закона сохранения (197) в теории Вейля см. гл. V, § 65, .