§ 4. Относительность одновременности. Вывод преобразований Лоренца из обоих постулатов. Аксиоматика преобразований Лоренца

При поверхностном рассмотрении принцип относительности и принцип постоянства скорости света кажутся несовместимыми. Пусть, например, наблюдатель А

движется со скоростью v относительно источника света L, а наблюдатель В покоится относительно L. Оба наблюдателя при этом в качестве фронта волны видят сферы, центры которых покоятся относительно наблюдателей, т. е. видят две различные сферы. Противоречие, однако, исчезает, если допустить, что до точек пространства, до которых свет дошел одновременно с точки зрения наблюдателя Л, с точки зрения наблюдателя В свет доходит не одновременно. Таким образом, мы непосредственно приходим к выводу об относительности одновременности. С этим вопросом связана необходимость сначала дать определение синхронности двух часов, находящихся в различных местах пространства.

Эйнштейн предложил следующее определение синхронности часов: часы в точках Р и Q синхронны, если световой сигнал, посланный из Р в момент придет в Q в момент измеряется по часам в Q), причем где -время возвращения света, отраженного в точке Q, обратно в Р. Эйнштейн выбирает в качестве синхронизирующего сигнала световой сигнал потому, что пользуясь принципом постоянства скорости света, можно высказать определенные утверждения о процессе распространения света. Вообще говоря, синхронизация часов возможна и другими методами: с помощью переноса часов из одного места в другое, с помощью упругой связи и т. д. Мы должны потребовать только, чтобы при подобной синхронизации не получалось никаких неразрешимых противоречий с синхронизацией часов посредством световых сигналов.

Теперь мы в состоянии вывести формулы преобразования, связывающие координаты двух систем К и К, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. За ось х выберем направление диижепия и при этом так, чтобы система двигалась относительпо системы К со скоростью v в положительном направлении оси Все авторы начинают интересующий нас вывод с требования линейности формул преобразования, которое можно обосновать тем, что движение, равномерное и прямолинейное в системе К, должно быть таким же и в системе К (при этом считается само собой разумеющимся, что конечные значения координат в системе К остаются конечными и в системе К. Подразумеваются также однородность пространства и времени и справедливость евклидовой геометрии).

Вследствие обоих принятых постулатов уравнение

влечет за собой уравнение

Это возможно в силу линейности преобразования, только если

где к — ггостояпная, зависящая от v. Если учесть также, что любое двюкение, параллельное оси после преобразования должно оставаться параллельным этой оси, то отсюда на основапии элементарных соображений следуют формулы (1). Теперь нужно еще особое рассуждение, для того чтобы показать, что Эйнштейн проводит это доказательство, применяя преобразование (1) еще раз (на этот раз к , и при этом с обратной скоростью:

Отсюда

Так как система К покоится относительно К и, следовательно, идентична с нею, должно иметь место равенство

Как отмечено в § равно изменению поперечных размеров тела и не должно, следовательно, из соображений симметрии, зависеть от направления скорости. Поэтому откуда в сочетании с предыдущим равенством следует, что поскольку х должно быть положительным.

Пуанкаре пришел к этому выводу похожим путем. Он рассмотрел множество всех преобразований, переводящих уравнение (2) само в себя (это множество естественным

образом образует группу), и потребовал, чтобы эта группа содержала в качестве подгрупп:

a) однопараметрическую группу перемещений параллельно оси х (в качестве параметра фигурирует скорость );

b) обычные вращения системы координат.

Отсюда опять следует, что поскольку требование Эйнштейна содержится в b). В итоге мы приходим к вполне определенным формулам преобразования:

Преобразования, обратные (I), получаются заменой

Простое строение формул (I) делает естественным вопрос о возможности их получения из общих теоретикогрупповых соображений, без требования инвариантности

уравнения (2). В какой мере это возможно, показывают работы Игнатовского и Франка и Роте [39]. Если предположить, что:

1) преобразования образуют одноиараметричсскую однородную линейную группу,

2) скорость системы К относительно К равна с обратным знаком скорости К относительно К,

3) сокращение масштаба, покоящегося в К, с точки зрения наблюдателя в К, равно сокращению масштаба, покоящегося в К, с точки зрения наблюдателя в К, то можно показать, что формулы преобразования должны иметь вид

Относительно знака, величины и физического смысла а сказать на основе высказанных положений ничего нельзя. Таким образом, из теоретико-групповых соображений можно получить лишь внешний вид формул преобразования, но не их физическое содержание. Заметим, что из (3) вытекают, если положить формулы преобразования обычной механики:

Эти формулы, следуя Ф. Франку, называют теперь преобразованиями Галилея. Они получаются, конечно, так же, если положить в (I) .