§ 9. Тензорное исчисление в аффинной геометрии

Чтобы избежать различного написания одних и тех же формул в специальной и общей теории относительности, мы сразу не будем ограничивать себя ортогональными преобразованиямн и положим в основу наших рассуждений группу аффинных преобразований. Геометрически это означает, что мы будем рассматривать косоугольные (но не криволинейные) системы координат. Коэффициенты при этом постоянны, но не нормированы условием имеющим место в ортогональных координатах. Что касается величин то они определяются следующим образом:

Тензорное исчисление можно вводить различными способами. Можно, например, интерпретировать компоненты тензора как проекции некоторого геометрического образования или описать чисто алгебраически заданием их поведения при преобразовании координат. Минковский рассматривал геометрически только четырехмерный вектор, в то время как введенное им впервые понятие бивектора (или, как он называл его, — вектора второго рода) было определено чисто алгебраически. Работы Зоммерфельда [65] сделали, однако, геометрический метод господствующим, которым он оставался до тех пор, пока группа Лоренца не была заменена более общими группами преобразований.

В работах Риччи и Леви-Чивиты [67], в которых был заложен фундамент тензорного исчисления для общей

группы точечных преобразований, за исключением попытки интерпретации ко и контравариантных компонент вектора, нет никаких геометрических рассуждений. Только в последующих работах Гессенберга, Леви-Чивиты и Вейля [72, 78—80] снова более подчеркивается геометрическая сторона вопроса. Такой подход к проблеме в полной мере характерен и для диссертации Ланга [69]. Чисто алгебраическое изложение предпочтительно из-за простоты, геометрическое же — из-за наглядности. Мы начнем с алгебраического подхода, однако позднее в отдельных случаях дадим геометрическую интерпретацию рассмотренным понятиям и теоремам.

Величины в которых индексы независимо друг от друга могут принимать значения 1, 2, 3, 4, называются компонентами тензора, ковариантного по индексам и контравариантного по индексам если при аффинном преобразовании координат

обратным которому будет преобразование

(где коэффициенты удовлетворяют соотношениям

они преобразуются по закону

В этих выражениях, согласно принятому правилу, производится суммирование но индексам, встречающимся дважды (об обобщении этого определения на любое преобразование координат см. § 14). Число индексов в компоненте тензора называют его рангом. Тензоры сервого ранга называют также векторами. Простейшим примером последних являются (контравариантные) координаты некоторой точки. Величины , определенные соотношением

(21), согласно (24) являются компонентами тензора, ковариантного по индексу i и контравариантного но индексу к. Кроме того, тензор 6 обладает тем свойством, что его компоненты имеют одинаковые числовые значения в любых системах координат.

При сложении двух тензоров получается новый тензор того же ранга, при умножении — тензор высшего ранга. Например,

При свертывании, т. е. при суммировании компонент тензора по двум индексам, из которых один — ковариантный, а другой — контравариантный, получается тевзор низшего ранга. Так, из тензора второго ранга получается инвариант Можно также комбинировать умножение и свертывание. Например, образуем сначала путем умножения и тензор

а затем свертыванием полупим инвариант

Его можно было получить непосредственно из путем операции

Подобным же образом можно получить из тензора второго ранга и вектора х вектор

и инвариант

Примененные здесь правила допускают обращение. Так, если является иавариантом при любом векторе то суть ковариантные компоненты вектора. Если есть инвариант при любом векторе то а суть компоненты тензора второго ранга, и т. д. Обобщение этих положении на тензор любого ранга получается посредственно.

Тензор называется симметричным (соответственно, анти- или кососимметричным) относительно индексов i и к, если при перестановке этих индексов его компоненты не изменяются (соответственно меняют знак), например, (соответственно ). Легко убедиться, что это свойство не зависит от выбора координат. Однако существенно, чтобы индексы были либо оба верхние, либо оба нижние.

Величины введенные в (19), образуют тензор, что следует из инвариантности . Этот тензор имеет важнейшее значение как для геометрии, так и для физики и называется фундаментальным (или метрическим) тензором. С помощью можно получить новые тензорные компоненты следующим образом. Образуем вначале детерминант g из

Затем разделим миноры, соответствующие на g. Мы получим 10 величин которые удовлетворяют соотношениям

Отметим, что

Докажем, что являются контравариантными компонентами тензора второго ранга. Действительно, из контравариантных компонент вектора путем умножения на и последующего свертывания получаются ковариантные компоненты вектора

Разрешая эти уравнения относительно получаем

Так как компоненты полностью произвольны, тензорный характер вытекает из приведенной выше теоремы.

Мы называем величины ковариантными и контравариантными компонентами одного и того же вектора. Аналогичным образом можно определить опускание или

поднятие индексов и для тензоров высших рангов и рассматривать полученную таким образом систему величин как совокупность компонент того же тензора. Так,

Поднятие и опускание индексов не меняют соотношения между тензорами. Необходимо только, чтобы при свертывании суммирование всегда производилось по паре индексов, один из которых верхний, а другой — обязательно нижний, например,

Этим исчерпываются правила тензорной алгебры. Тензорный анализ, т. е. правила, по которым из тензоров путем дифференцирования по координатам получаются новые тензоры, является для аффинной группы следствием тензорной алгебры, так как операторы во всех ношениях формально ведут себя как ковариантные компоненты некоторого вектора. Определение и геометрическая интерпретация этого оператора могут быть даны лишь при изложении тензорного исчисления общей группы преобразований.