§ 15. Геодезические линии
Направление кривой 
в какой-либо точке Р характеризуется вектором 
Этот вектор касается кривой в точке Р, и длина его равна 1, так как
(77)
Геодезической линией называется кривая, направление которой во всех точках постоянно [83]. Другими словами, если в некоторой точке 
геодезическая линия имеет касательный вектор и, то касательный вектор к этой линии в других точках получается параллельным переносом вектора и вдоль нее. По (64) и (70) это можно выразить аналитически следующим образом:
или (что эквивалентно),
Последнее равенство можно представить в виде
Соотношения (80) представляют собой дифференциальные уравнения геодезической линии. На основании (80), обратно, вследствие инвариантности длины вектора при параллельном переносе следует, что
т. е. (80) справедливо только для такого параметра s, который с точностью до постоянного множителя равен длине дуги.
Геодезические линии могут быть определены также при помощи вариационного принципа. Именно, они эквивалентны упомянутым в § 13 «кратчайшим» линиям, или, точнее, «экстремалям» [84], для которых вариация длины кривой равна нулю (последнее необходимо, но недостаточно для минимума). Действительно, пусть А и
В — фиксированные начальная и конечная точки, s — длина дуги, к — любой параметр; покажем, что для геодезической линии
при этом — заданные функции координат 
Варьируются лишь функции 
Проделаем над (81) известное из механики преобразование. Для этого мы выбираем параметр к таким образом, чтобы на экстремалях он совпадал с длиной дуги s и пробегал всегда ту же область значений. В окончательных дифференциальных уравнениях можно будет тогда к заменить на s. Положим, что
Тогда
и так как для экстремали выражение в знаменателе равно 1, вместо (81) можно просто написать
Таким образом, получается полная аналогия с принципом Гамильтона в механике, если рассматривать L как лаграежеву функцию. Написав х вместо 
получим из (83) дифференциальное уравнение
(84)
Так как согласно (20)
получаем
что совпадает о (78). (В многообразиях, в которых форма 
не дефинитна, приведенный вывод не годится для кривых, на которых 
Об особенностях этих «нулевых» линий см. § 22.)
