§ 56. Уравнения гравитационного поля

Основная и важнейшая задача общей теории относительности — установление законов для самого -поля. От этих законов нужно, конечно, требовать, чтобы они были общековариантны. Однако для однозначного их установления нужно поставить и другие требования. Основными соображениями являются при этом следующие:

1. Согласно принципу эквивалентности тяжелая масса равна инертной массе, а значит пропорциональна полной энергии. То же самое относится, очевидно, и к силе, действующей в поле тяготения на материальную систему. Поэтому представляется естественным принять, что и наоборот, только полная энергия существенна для поля, создаваемого материальной системой. Однако согласно специальной теории относительности плотность энергии не может быть описана скаляром, а является -компонентой тензора в котором к энергии равноправным образом присоединяют импульс и напряжения. Сформулируем поэтому наше предположение следующим образом:

В уравнения гравитационного поля не должны входить никакие другие переменные, характеризующие состояние материи, кроме полного тензора энергии-импульса

2. Сверх того, по аналогии с уравнением Пуассона

Эйнштейн делает предположение, что тензор энергии-импульса должен быть пропорционален дифференциальному выражению второго порядка, образованному только из Поскольку это выражение вследствие постулата общей ковариантности, обязательно должно быть тензором, согласно (ИЗ) (см. § 17) находим следующую форму для дифференциальных уравнений -поля:

    (400)

где — определенный формулой (94) (свернутый) тензор кривизны, соответствующий инвариант (95). О геометрическом смысле этих тензоров см. § 17.

Сущность сделанных предположений отчетливо выясняется при сравнении с теорией Нордстрёма, которая согласно Эйнштейну и Фоккеру [254] также может

быть представлена в общековариантной форме. В гравитационные уравнения Нордстрема входит только скаляр причем он пропорционален инварианту кривизны R. Остальные уравнения теории Нордстрема, которые еще до сих пор не установлены в развернутом виде, должны содержать утверждение, что линейный элемент при подходящем выборе координат всегда может быть приведен к виду

т. е. что в некоторой системе координат скорость света постоянна. Мы видим, что эти уравнения поля, с точки зрения абсолютного дифференциального исчисления, кажутся совершенно искусственными и запутанными по сравнению с уравнениями теории Эйнштейна, в которые все компоненты входят равноправно.

3. Для того чтобы определить входящие в уравнения (400) вначале неопределенные постоянные мы должны рассмотреть связь общей теории относительности с принципом причинности. Если мы нашли какое-нибудь решение общековариантных уравнений поля, то путем выбора других координат можно получить сколь угодно много других решений. Поэтому общее решение уравнений поля должно содержать четыре произвольные функции. Среди десяти уравнений поля (400) для десяти неизвестных должны, таким образом, иметься четыре тождества. Вообще в релятивистской теории для неизвестных должно существовать лишь независимых уравнения. Противоречие с принципом причинности является только кажущимся, так как все возможные решения уравнений поля отличаются друг от друга лишь формально, оставаясь физически вполне равноправными. Изложенные здесь соображения принадлежат Гильберту [296].

Мы пришли, таким образом, к требованию, чтобы между десятью уравнениями (400) имелось четыре тож

Как уже было указано в § 50 (см. сноску на с. 196), эти же уравнения в том же году были выведены Гильбертом. В то время как у Гильберта исходным является вариационный принцип, в нашем изложении, как и у Эйнштейна, этот последний получается как математическое следствие (см. следующий параграф).