Часть IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ n ТЕЛ В КООРДИНАТАХ

В этой главе приводятся различные формы дифференциальных уравнений движения задачи тел, рассматриваемых как материальные точки, а также их первые интегралы. Подробные выводы можно найти в учебниках и монографиях [1] — [8].

§ 1.01. Уравнения абсолютного движения

Пусть имеется материальных точек с массами соответственно, взаимно притягивающихся по закону всемирного тяготения. Задача тел состоит в нахождении и изучении всевозможных движений этой системы материальных точек.

Если — абсолютная прямоугольная система координат с началом в произвольно выбранной точке О и с неизменными направлениями осей, — координаты точки а взаимное расстояние точек есть

то дифференциальные уравнения движения системы точек имеют такой вид:

Функция называется силовой функцией и выражается формулой

где — постоянная тяготения. В (4.1.02) , на что указывает штрих при знаке суммы.

Уравнения (4.1.01) в развернутой форме имеют вид

Система (4.1.01) имеет порядок поэтому для нахождения ее общего решения необходимо знать независимых первых интегралов. Известны 10 первых интегралов системы (4.1.01), содержащих алгебраические функции координат и их производных.

Интегралы движения центра масс:

Интегралы площадей:

Интеграл живых сил (интеграл энергии)

в интегралах (4.1.04) — (4.1.06) величины — произвольные постоянные.

Интегралы (4.1.04) указывают на то, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно относительно абсолютной системы координат. Из (4.1.05) следует, что момент количества движения системы постоянен и по величине и по направлению. Интеграл (4.1.06) выражает постоянство полной энергии системы, так как функция — потенциальная энергия системы, а левая часть равенства представляет собой кинетическую энергию системы. Более подробно вопрос о существовании первых интегралов изложен в главе 2 части X.

Знание 10 первых интегралов позволяет понизить порядок системы (4.1.01) на 10 единиц, после чего получится система порядка Возможно понизить порядок системы еще на две единицы благодаря тому, что в уравнения движения время не входит явным образом и применима теорема Якоби о последнем множителе [10].

Неизменяемая плоскость Лапласа — это плоскость, перпендикулярная к моменту количества движения. Ее уравнение имеет вид

— координаты произвольной точки пространства (в качестве таковой можно взять центр масс системы).