с положительным направлением отсчета от геодезического зенита к точке востока (рис. 23).
Уклонение отвеса может быть найдено из гравиметрических измерений как угол между градиентами потенциала Земли 
(геоида 
и потенциала V, соответствующего данному эллипсоиду относимости Е (например, нормального потенциала общего земного эллипсоида), которые вычисляются в соответственных точках 
, т. е.
Рис. 23. Связь между уклонением отвеса 6 и его составляющими 
Таким образом,
где 
— геодезический азимут направления полного уклонения отвеса 0, определяемый формулой
в которой 
— единичный вектор, направленный по оси вращения Земли.
Для 
имеются приближенные формулы
где
Из сферического прямоугольного треугольника 
(см. рис. 22) имеем
или, приближенно,
Астрономический азимут А и геодезический азимут 
измеряются в различных плоскостях; однако относительная погрешность измерения обоих азимутов в плоскости астрономического горизонта не превышает величины порядка 10-8. Поэтому в сферическом треугольнике 
можно принять 
тогда, с той же степенью точности,
Соотношение (1.1.059) называется уравнением Лапласа-, оно дает возможность вычисления геодезического азимута для тех триангуляционных пунктов, на которых, кроме астрономического азимута А, из наблюдений определяется и астрономическая долгота 
(пункты Лапласа).
Разности между астрономическими и геодезическими координатами часто достигают 
иногда 
уклонения отвеса в 30" — 40" чрезвычайно редки (уклонению в 1" по долготе на широте 
соответствует 
на поверхности Земли в направлении параллели).
1. Геоцентрические координаты. Кроме координатных систем на поверхности Земли необходима еще система координат, определяющая положение точек земной поверхности относительно центра принятого эллипсоида относимости (который, как можно считать с определенной степенью приближения, совпадает с центром масс Земли).
С этой целью вводят расстояние 
от центра эллипсоида относимости, называемое геоцентрическим радиусом-вектором, геоцентрическую широту 
угол между радиусом-вектором 
и плоскостью геодезического экватора, и геоцентрическую долготу, совпадающую с геодезической долготой Я; геоцентрическим зенитом называется точка пересечения продолжения радиуса-вектора 
с геоцентрической небесной сферой (рис. 24,а).
Угол 
между радиусом-вектором 
и нормалью к эллипсоиду называется углом вертикали, или приведением широты. В астрономии геоцентрическую широту 
иногда называют приведенной широтой.
Зависимость между геодезической широтой 
и геоцентрической широтой 
имеет вид
где 
означает эксцентриситет эллипсоида относимости, соответствующий сжатию а этого эллипсоида. Если 
и 
— соответственно
большая полуось (экваториальный радиус) и малая (полярная) полуось эллипсоида относимости, то
Рис. 24. а) Геоцентрическая и астрономическая широта. б) Прямоугольные координаты точки земной позерхностя
Положение точки О на поверхности Земли можно определить высотой Н этой точки по нормали к эллипсоиду относимости и прямоугольными координатами х, у точки О пересечения этой нормали с поверхностью эллипсоида, отнесенными к системе координат 
лежащей в плоскости геодезического меридиана точки О, причем ось 
направлена в точку пересечения меридиана с экватором, ось 
— в северный геодезический полюс 
(рис. 24, б). Для прямоугольных координат х, у точки О имеем
и
где
Угол вертикали 
можно определить по формулам 
где
Таблица значений функций С и 5 по аргументу 
для эллипсоида MAC опубликована в «Приложениях к Астрономическому Ежегоднику СССР» на 1968-1971 гг.
Функции С и 
а также геоцентрический радиус-вектор 
(в единицах экваториального радиуса 
земного эллипсоида) и угол вертикали 
можно вычислить, воспользовавшись разложениями
полученными для элементов земного сфероида MAC (см. гл. 4):
Высота Н точки наблюдения О над эллипсоидом относимости учитывается следующими поправками к координатам х, у точки О:
Поэтому полные координаты X, Y точки наблюдения О равны
где
Ортометрическая высота 
точки наблюдения О над геоидом (уровнем моря), не совпадающая, вообще говоря, с Н, может быть учтена с некоторой степенью приближения, если рассматривать 
как приращение геоцентрического радиуса-вектора 
по формулам
где 
— в метрах.
Так как формулы (1.1.067) применяются к широте 
приведенной к уровню моря, то при больших высотах 
необходимо пользоваться более точными формулами А. А. Михайлова:
Прямоугольные координаты х, у точки О можно выразить через приведенную широту и, называемую также параметрической или геометрической широтой.
Если продолжить перпендикуляр (рис. 25), опущенный на плоскость геодезического экватора из точки О, до пересечения с описанной вокруг земного сфероида сферой (радиуса 
и центром в Т), то угол и между радиусом 
и плоскостью геодезического экватора называется приведенной широтой.
Очевидно, что
Рис. 25. Приведенная широта.
Приведенная широта и связана с геодезической широтой 
и геоцентрической широтой 
соотношениями
2. Изменения географических координат. Местная система отсчета, состоящая из системы горизонтальных координат и астрономической системы географических координат, зависит от положений астрономической вертикали и оси вращения Земли. Географические координаты, зависящие от направления вертикали относительно оси вращения Земли, подвержены влиянию изменений как в положении вертикали, так и в положении оси вращения внутри Земли.
На горизонтальные координаты оказывают влияние как изменения в направлении вертикали относительно Земли, так и перемещения вертикали в пространстве, обусловленные движением Земли вокруг центра масс, движущегося в свою очередь относительно ее оси вращения.
Наблюдениями была обнаружена изменяемость астрономических широт и долгот земной поверхности, в которой основную роль играет движение географических полюсов по поверхности
Земли. Для непрерывного наблюдения за положением истинного географического полюса в 1895 г. была учреждена Международная служба широт (МСШ), объединявшая пять обсерваторий мира, лежащих под широтой 
но под различными долготами. С 1960 года МСШ была заменена Международной службой движения полюсов (МСДП) с центром в Миззусаве (Япония). В ее работе, кроме обсерваторий МСШ, принимают участие еще около 50 обсерваторий и станций.
Таблица 2
Основная задача МСДП (International Polar Motion Service) состоит в систематическом определении по широтным наблюдениям прямоугольных координат х и у истинного географического полюса Земли в избранной для этой цели системе отсчета. Начало этой системы координат, называемое Международным условным началом (МУН) (СЮ, the Conventional International Origin), лежит в точке 
определяемой номинальными значениями географических широт, приписанными пяти обсерваториям МСШ и приведенными в табл. 
Оси 
этой системы направлены по касательным соответственно к среднему меридиану Гринича и к меридиану под западной долготой 90° от него (рис. 26). Международное условное начало 
было введено в практику обработки широтных наблюдений и определений времени с 1 января 1968 г. Оно фактически совпадает со средним положением истинного полюса Земли в течение периода 1900-1905 гг. (иногда неправильно называемым средним полюсом эпохи 1903,0), относительно которого изучалось перемещение истинного полюса до 1955 г. С 1955 по 1959 г. в качестве начала отсчета положений истинного полюса служило среднее положение, выведенное проф. Чеккини из наблюдений за период с 1949 по 1958 гг.,
Рис. 26. Координаты истинного по люса относительно среднего полюса.
а с 1959 по 1967 гг. - так называемый средний полюс эпохи. На этих началах отсчета были основаны работы Международного Бюро времени (Париж, Франция) по вычислению координат х, у истинного полюса Земли. Если угол у измеряется дугой среднего меридиана истинного полюса Р, заключенной между истинным положением полюса Р и МУН 
, а Г есть угол при среднем полюсе 
отсчитываемый к востоку от среднего меридиана точки наблюдения О до дуги 
(см. рис. 26), то координаты х и у истинного полюса Р можно выразить через углы у и Г соотношениями
Рис. 27. Связь между истинными и средними географическими координатами.
Если 
— средние значения астрономической широты и долготы точки земной поверхности, отнесенные к среднему полюсу 
то истинные (мгновенные) координаты 
К этой точки О, отнесенные к мгновенному полюсу Р, определяются через прямоугольные координаты х, у полюса Р формулами (рис. 27)
Значения координат х, у мгновенного полюса периодически публикуются в Circulaires BIH, издаваемых в Париже Международным Бюро времени (BIH), причем циркуляры Circulaire В и Circulaire D содержат наблюденные значения координат, a Circulaire С — их экстраполированные значения. До 1 декабря 1967 г. эти данные публиковались в Bulletin Horaire.
Необходимо иметь в виду, что координаты МУН на 1 января 1968 г. в старой системе равны
Соответствующие поправки к координатам истинного полюса и моментам времени в системах 
обусловленные выбором различных начал отсчета при определении положений истинного полюса, сведены в табл. 3 [61].
В 1970 г. организованная Военно-морской лабораторией вооружения США Служба определения движения полюсов Земли (Dahlgren Polar Monitoring Service) начала определение
Таблица 3 (см. скан)
координат истинного полюса на основе анализа доллеровых наблюдений ИСЗ [62], [63] и публикует значения х, у с точно стью до 0,01 м, охватывая также наблюдения прошлых лет. Средняя квадратичная ошибка этих определений порядка 1 м. Результаты, получаемые службами IPMS и DPMS, обрабатываются Международным Бюро времени совместно с результатами наблюдений на обсерваториях, сотрудничающих с МБВ.
Координаты истинного полюса в системе МУН за период с 1899 по 1968 г. были определены и опубликованы Висенте и Юми [64].
одной и той же точки можно обнаружить только из наблюдений (рис. 22). Эти разности обусловлены главным образом неправильными изменениями в направлении силы тяжести при переходе от точки к точке земной поверхности, несовпадением оси вращения Земли с осью вращения эллипсоида относимости и центра этого эллипсоида с центром масс Земли. Поэтому астрономическая вертикаль образует с геодезической вертикалью угол, который называется уклонением отвеса. Различают абсолютное уклонение отвеса, измеряемое углом 
между астрономической вертикалью и нормалью к общему земному эллипсоиду, и относительное (астрономо-гео-дезическое) уклонение отвеса, равное углу, заключенному между астрономической вертикалью и нормалью к принятому референц-эллипсоиду.
с положительным направлением отсчета от геодезического зенита 
к северному полюсу мира 
и составляющую по дуге первого вертикала 