§ 1.10. Аппроксимация периодических функций с известным периодом тригонометрическими полиномами по методу наименьших квадратов

1. Пусть даны значения функции в равноотстоящих узлах причем и число рассматривается как период функции Ставится задача аппроксимации этой функции тригонометрическим полиномом вида

Коэффициенты ищутся из условия минимума среднего квадратичного отклонения

и окончательные формулы для них следующие:

Соответствующая величина минимума выразится формулой

где при при — целое число или нуль).

Коэффициенты аппроксимирующего тригонометрического полинома связаны с точными значениями коэффициентов Фурье функции если она разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье, следующими формулами:

Отсюда видно, что если коэффициенты Фурье убывают по мере возрастания номера довольно быстро, то при небольших

2. Пусть узлы расположены произвольно, но период исследуемой функции известен и равен Т. Тогда аппроксимирующий полином Фурье (7.1.40) и условие минимума величины 5, как условие для нахождения коэффициентов остаются без изменений. Пусть при этом значительно больше, чем Тогда коэффициенты определяются из системы так называемых условных уравнений

решаемых по методу наименьших квадратов (см. гл. 4).