§ 3.14. Устойчивость орбитальных движений искусственных спутников
Исследованию устойчивости движения спутников в последние годы уделяется большое внимание. Работы по этой проблеме можно разделить на две группы:
1) исследование устойчивости движения центра масс (орбитального движения) спутников;
2) исследование устойчивости движения спутника относительно центра масс.
Второе направление обсуждается в части IX. Мы коснемся работ, примыкающих к первому направлению.
Известно [20], [47], [71], [87], [133], что спутниковая задача с осесимметричным гравитационным полем допускает круговые решения. В. Г. Деминым получены [87], [134] необходимые и достаточные условия устойчивости таких орбит материальной точки (спутника). Необходимые условия получены с помощью теоремы Ляпунова «первого метода» (§ 3.05). Достаточные условия получены с помощью способа Четаева (§ 3.07) образования линейной, относительно параметров X, (§ 3.07), и квадратичной, относительно первых интегралов, связки (задача имеет два известных первых интеграла 
т. е. функция Ляпунова отыскивается в виде
где 
— левые части интегралов площадей и энергии (см. (4.1.23), (4.1.24)), записанные в цилиндрических переменных 
Если постоянно действующие факторы 
(§ 3.08) малы и не зависят от долготы, т. е.
то устойчивость круговых орбит не нарушается при достаточно малых по модулю значениях параметра 
Другими словами, зональные гармоники в разложении потенциала центрального тела (см. ч. IV, гл. 5 и ч. VI) не нарушают устойчивости круговых орбит, если только разложение потенциала сходится «достаточно быстро».
Обобщенная задача двух неподвижных центров (см. ч. VI) также допускает круговые орбиты. Их устойчивость при постоянно действующих возмущениях исследована в работах [135], [136], [137], а для случая предельного варианта задачи двух неподвижных центров в [138]. Названная задача допускает в качестве частных решений так называемые «эллипсоидальные и гиперболоидальные орбиты» [47]. Эти орбиты лежат на эллипсоиде или на гиперболоиде вращения. Первые располагаются между двумя параллелями, и если являются периодическими, то после некоторого числа оборотов замыкаются, в противном случае имеем обмотку части эллипсоида. Гиперболоидальные траектории не являются спутниковыми орбитами, так как при 
материальная точка удаляется на бесконечность. С помошью связки интегралов В. Г. Демин [87] показал, что эллипсоидальные орбиты устойчивы по отношению к большой полуоси и эксцентриситету эллипсоида и гиперболоида, на которых происходит движение спутника. Устойчивость движения стационарных (или суточных) спутников рассмотрена в [89], [137].
Если спутник имеет стреловидную форму, а центральное тело суть шар со сферическим распределением плотности, то такая задача, в частности, допускает частные решения, в которых центр масс движется по круговой орбите вокруг шара.
Г. Н. Дубошиным не только найдены частные решения в этой задаче [139], но и изучена их устойчивость. Доказано [87], [139], что круговые орбиты центра масс стреловидного спутника устойчивы по отношению к цилиндрическим переменным и их производным 
при наличии постоянно действующих возмущений, обусловленных формой спутника, если предположить, что длина спутника достаточно мала.
В заключение отметим, что многие, не затронутые здесь, вопросы устойчивости орбитальных движений изложены в монографиях В. Г. Демина [87] и В. В. Румянцева [89].
ЛИТЕРАТУРА К ЧАСТИ X
(см. скан)
