§ 3.03. Обобщенная задача двух неподвижных центров

В 1961 г. Е. П. Аксенов, Е. А. Гребеников, В. Г. Демин предложили для построения теории движения ИСЗ использовать обобщенную задачу двух неподвижных центров [35], [36]. Задача Эта заключается в исследовании движения спутника гравитационном поле, потенциал которого дается формулой

Здесь и — постоянная притяжения и масса Земли,

а с и — некоторые вещественные постоянные.

Предполагая, что сна малы, разложим в ряд по полиномам Лежандра. Тогда получим

где коэффициенты даются равенством

Отсюда, в частности, следует, что при вещественных сна для любого целого коэффициенты являются величинами действительными.

Выберем теперь с и а из условий

Тогда

Подставляя в (6.3.29) вместо их числовые значения из § 1.02, найдем

При этих значениях для с и а из формулы (6.3.28) получаем

При этом для будут меньше . Таким образом, хотя и не равны друг другу, однако их разность меньше, чем Вследствие малости отношения постоянные убывают с возрастанием быстрее, чем Поэтому разность функций и будет содержать члены, порядок которых и выше. Пусть

где дается формулой (6.3.01), есть возмущающая функция. Тогда

где

Если воспользоваться числовыми данными § 1.02, то для постоянных получим (в единицах

Итак, если с и а выбрать из условий (6.3.29), то первые три члена формулы (6.3.27) будут совпадать с первыми тремя членами формулы (6.3.01). Тем самым возмущающая функция не содержит не только второй, но и третьей зональной гармоники. Она включает в себя лишь члены, порядок которых и выше. Таким образом, функция весьма хорошо аппроксимирует потенциал притяжения реальной Земли.

Перейдем теперь к интегрированию дифференциальных уравнений задачи. Из формулы (6.3.01) следует, что функцию можно интерпретировать как силовую функцию задачи двух неподвижных центров с комплексными массами и с мнимым взаимным расстоянием, равным . А как известно, задача двух неподвижных центров является одной из немногих задач механики, интегрируемых в квадратурах.

Дифференциальные уравнения движения могут быть проинтегрированы методом Гамильтона — Якоби, если ввести сфероидальные координаты и связанные с формулами

В этих координатах кинетическая энергия Т и силовая функция имеют вид

где

С помощью (6.3.34) и (6.3.35) легко составить уравнение Гамильтона — Якоби. Оно имеет следующий вид:

где а — постоянная.

Полный интеграл уравнения (6.3.36) находится методом разделения переменных и дается формулой

где

— произвольные постоянные Якоби.

Из (6.3.37) нетрудно найти три первых интеграла задачи

Введем новую независимую переменную согласно уравнению

Тогда из равенств (6.3.39) находим

где — постоянные интегрирования.

Таким образом, задача свелась к обращению квадратур. После того, как из первых двух равенств (6.3.41) найдем как явные функции третье равенство (6.3.41) даст как функцию а уравнение (6.3.40) позволит связать с временем

Замечания. Функция содержит два параметра с и а, которые мы выбрали так, чтобы вторая и третья гармоники в разложении потенциала совпадали с таковыми в разложении Рассмотрим теперь некоторые частные случаи.

Пусть Тогда формулы (6.3.28) и (6.3.29) дают

и, следовательно, формула (6.3.27) совпадает с формулой Винти и Кислика.

Пусть Тогда, если ввести

разложить в ряд по степеням с и сохранить члены до включительно, то получим формулу Баррара.

Пусть, наконец, Тогда формула (6.3.25) даст нам потенциал шарообразной Земли.

Таким образом, формула (6.3.25) включает в себя как частные или предельные случаи промежуточные потенциалы Винти и Кислика, Баррара и невозмущенный потенциал Земли. Пока она является наиболее общей формулой для промежуточного потенциала, допускающего интегрирование уравнений движения в квадратурах.

Обобщенной задаче двух неподвижных центров посвящено более сотни работ. Многие из них нашли отражение в книге [27]. Здесь мы отметим те из них, которые касаются качественных исследований.

Пусть есть постоянная энергии. Тогда, если то все движения происходят в ограниченной части пространства. Если же то движения оказываются неограниченными в пространстве. Подробный качественный анализ в случае для был дан в работах [37], [38] и в общем случае в работе [39]. Качественные исследования неограниченных движений были выполнены при работе [40] и для в работе]. При подобные исследования содержатся в статье [42]. Полярные орбиты ) были подробно рассмотрены для в работе [43] и для в работе [44].

Устойчивость частных движений (круговых, эллиптических, эллипсоидальных и др.) была исследована для случая в работе [45] и для случая работе [46].

Различные формулы, описывающие промежуточную орбиту, были опубликованы в статьях [47] — [51]. Механический смысл силовой функции задачи рассмотрен в работе [52].