§ 10.03. Решение Делоне основной проблемы в теории движения Луны

Исследования Делоне содержатся полностью в [51]. Изложение математических основ метода, применявшегося Делоне, имеется, например, в [7], [41], [42].

Делоне рассматривает в качестве исходных канонические уравнения движения вида (4.3.22) относительно переменных Эти переменные связаны с оскулирующими элементами орбиты Луны вокруг Земли: большой полуосью а, эксцентриситетом наклоном долготой перигея долготой восходящего узла средней долготой в орбите Я по формулам (4.3.21), так что

где

Выше мы кратко указали (см. § 8.04) на принцип метода Делоне. В соответствии с этим принципом Делоне выполнил 497 последовательных канонических замен переменных

а также сопутствующих замен переменных

называя эти замены операциями. Параллельно производились преобразования возмущающей функции выражающейся непосредственно через Для простоты записи все переменные при этих преобразованиях обозначаются у Делоне одинаково, т. е. верхние индексы отсутствуют. В процессе выполнения операций переменные теряют свой смысл оскулирующих большой полуоси, эксцентриситета, синуса половины наклона орбиты, но все же остаются близкими к ним. Точно так же получаемые последовательно переменные не выражаются через оскулирующие элементы по формулам (4.10.11), но в среднем отражают поведение этих элементов в соответствии с (4.10.11). Связь между переменными и , получаемая в ходе преобразований, становится отличной от (4.10.11). Все формулы Делоне располагает по степеням переменных отношений а также причем связано с а формулой

и представляет собой аналог среднего движения Луны.

В конце концов Делоне приходит к таким окончательным переменным, что соответствующая возмущающая функция содержит лишь малые члены выше шестого или седьмого порядка относительно Полагая ее равной нулю, Делоне получает уравнения

где — невозмущенная часть гамильтониана (см. 4.3.21), выраженная через окончательные переменные. При этом не зависит от угловых переменных

Окончательные уравнения Делоне для в явном виде, если ограничиться членами пятого порядка относительно следующие:

Решение этих уравнений вида

при постоянных вместе с выражениями для через рассматривается как общее решение исходной задачи, но представленное не исходными переменными, а другими, связанными с исходными переменными последовательностью преобразований.

Формулы Делоне для , если ограничиться в них членами не выше пятого порядка, следующие:

Если были бы выведены формулы, непосредственно связывающие окончательные переменные выписанные в (4.10.12), (4.10.13), с первоначальными переменными (по Делоне они обозначаются, как мы уже отмечали

одинаково), то можно было бы получить решение исходных уравнений движения в явном виде. Делоне не рассматривает подобные формулы. Его цель — получить формулы для сферических координат Луны: истинной эклиптической долготы V, эклиптической широты и синуса горизонтального параллакса Луны

Формулы, связывающие с элементами орбиты Луны в невозмущенном движении, т. е. с первоначальными переменными следующие (коэффициент при в выражении для V и коэффициент при в выражении для выписаны по Делоне полностью, а остальные коэффициенты с точностью до членов четвертого порядка относительно

(см. скан)

где — экваториальный радиус Земли.

В соответствии со своими 497 операциями Делоне преобразовывает эти выражения и получает формулы зависимости V, Р от окончательных переменных в следующем виде:

и для аналогичное разложение по косинусам, где зависит от угловых элементов орбиты Солнца.

Члены в этих рядах для V и называются главным эллиптическим членом в долготе и главным членом в широте соответственно, а их коэффициенты А, В обозначаются соответственно через

Далее Делоне выполняет еще одну замену переменных чтобы в новых переменных (обозначаемых снова через

1) коэффициенты т. е. коэффициенты при в рядах для соответственно имели тот же вид, что и в формулах (4.10.14) невозмущенного движения;

2) сумма определяемая с помощью уравнений (4.10.12), выражалась так же, как в невозмущенном движении

Формулы Делоне такой замены переменных, если ограничиться в них наиболее существенными членами, запишутся в виде

где (Если обозначить новые переменные справа другими символами и написать вместо знак равенства, то мы получили бы обычные формулы замены переменных.)

Сумма рассматривается как осредненная средняя долгота Луны , а в выражении для этой суммы как некоторое среднее значение среднего углового движения Луны.

Выраженные согласно (4.10.12) переменные рассматриваются как осредненные значения или вековые части соответствующих исходных переменных. При этом определяют осредненные значения Я оскулирующих долгот перигея и узла лунной орбиты

— осредненная средняя аномалия.

В качестве аргументов синусов и косинусов в окончательных выражениях для Делоне использует переменные I, V (среднюю аномалию Солнца), D и равные

где И — средняя долгота Солнца. Эти переменные носят название основных или фундаментальных аргументов в теории движения Луны.

Окончательные выражения для и следующие (мы полностью выписываем коэффициенты главного эллиптического члена в долготе и главного члена в широте, все члены до третьего порядка относительно а также наибольшие в случае Луны члены 4-, 5- и 6-го порядков):

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

Полное выражение для V, выписанное у Делоне [51], содержит 479 гармоник, коэффициенты которых выписаны с точностью до членов шестого порядка относительно и восьмого-девятого порядка относительно . Каждая гармоника носит название неравенства, так что V представляется

в виде суммы правильной части Я (соответствующей равномерному движению по круговой орбите) и совокупности неравенств.

Неравенства с аргументами (отмеченные звездочкой) носят название вариации, эвекции годичного неравенства и параллактического неравенства соответственно.

Полные выражения для Делоне содержат 436 и 100 гармоник соответственно.

Поправки, вводимые в формулы для вследствие замены возмущающей функции {см. (4.10.10)] ее разложением вида (4.10.09), заключаются в следующем:

1) все члены, соответствующие возмущениям от Солнца (зависящие от умножаются на

2) отношение заменяется на

Приведем также грубые формулы для оскулирующих элементов орбиты Луны и средней долготы Луны Я, которые могут быть полезными при приближенном анализе особенностей движения Луны:

где а в качестве могут быть приняты или постоянные Делоне, или соответствующие начальные значения элементов .

Формулы (4.10.17) — (4.10.19) и выражения для получающиеся из (4.10.12), дают искомое решение основной проблемы в теории движения Луны в буквенном виде, содержащее постоянные интегрирования, роль которых играют а также начальные значения причем связаны друг с другом, так что независимых постоянных интегрирования шесть. Это буквенное решение можно использовать при построении теории движения не только Луны, но и других спутников планет. Однако при этом надо иметь в виду следующее.

Решение Делоне не дает возможности прогнозировать движение по начальным значениям оскулирующих элементов орбиты или координат небесного тела, так как зависимость постоянных интегрирования Делоне от начальных значений исходных переменных задачи неизвестна. Вместе с тем в случае небесных тел, в частности Луны, движение которых изучалось длительное время, значения постоянных интегрирования возможно определить по эмпирическим характеристикам движения, полученным из наблюдений, и построить таким образом конкретную теорию движения этих небесных тел.

Методика определения постоянных в случае Луны следующая.

1. Исходными являются эмпирические значения многолетнего среднего движения Луны коэффициента главного эллиптического члена в долготе коэффициента главного члена в широте а также постоянного члена в представлении синуса параллакса Луны. Эти значения определяются при анализе данных многолетних наблюдений.

2. При принятых (среднее движение Земли), (эксцентриситет орбиты Земли) вычисляется а затем и у так, чтобы коэффициенты в выражениях для V и (имеющие тот же вид, что и для невозмущенного движения) были равны своим эмпирическим значениям. В силу такого выбора постоянные и у могут служить некоторым эквивалентом среднего эксцентриситета лунной орбиты и синуса половины среднего наклона этой орбиты.

3. Постоянная а определяется так, чтобы свободный член в формуле для был равен эмпирическому значению Затем вычисляется при принятом значении синуса параллакса Солнца, равного

Такое независимое друг от друга определение и а противоречит, строго говоря, принятому соотношению в теории Делоне между этими величинами.

Делоне принял в (51] для средней многолетней продолжительности сидерического месяца сидерического года для величин для синуса горизонтального параллакса Солнца для эксцентриситета орбиты Земли следующие значения:

и получил, считая экваториальный радиус Земли единицей длины,

Выражения для основных аргументов Делоне не приводит. Их общий вид

где коэффициенты при вычисляются по правым частям (4.10.12) и формулам (4.10.16) с помощью численных значений — постоянные (начальные значения), которые определяются по данным наблюдений.

Значения равны средним многолетним вековым движениям перигея и восходящего узла Я лунной орбиты.

Полные формулы Делоне (4.10.12) содержат члены до седьмого порядка относительно . Этого недостаточно для получения достаточно точных коэффициентов в аргументах ввиду медленной сходимости разложений по . Ошибка значения векового движения перигея, определяемого по формулам Делоне, составляет около 300" (в год).

Теория Делоне была усовершенствована для целей практики Радо и Андуайе (128]. В 1915-1926 гг. вычисления эфемериды Луны, публиковавшейся во французсколм астрономическом ежегоднике, основывались на этой теории.

В [129] рассматривается вопрос о перестройке теории Делоне с помощью применения ЭВМ для реализации аналитических выкладок. Излагается методика исследований и некоторые окончательные численные результаты. Сообщается, что получены буквенные выражения (непосредственно они не приводятся) для среднего движения по долготе, вековых движений перигея и

узла орбиты с точностью до членов 19-го порядка относительно что дает удовлетворительную точность. Ошибка численных значений последних по сравнению со значениями, получаемыми по теории Брауна (см. ниже (4.10.69)), около в год соответственно. Высказывается мнение о положительных перспективах построения таким путем точной буквенной теории движения Луны.