§ 8.04. Основы метода Делоне

Для решения основной проблемы (см. гл. 10) теории Луны Делоне [2], [29] разработал метод решения канонических уравнений движения, получивший в литературе название «метода Делоне». Метод Делоне был видоизменен Цейпелем, и здесь мы изложим основные формулы «метода Делоне — Цейпеля» [2], [30].

Пусть уравнения движения небесного тела записаны с помощью канонических переменных Делоне (4.3.21) и имеют вид (4.3.22). Гамильтониан системы выражается через возмущающую функцию (см. § 3.07).

В основной проблеме теории движения Луны разложение возмущающей функции в виде явной функции элементов Делоне представляется четырехкратным рядом вида

где — элементы Делоне, а через обозначена разность элемента Делоне и долготы перигея орбиты Солнца, — средняя аномалия Солнца. Функция зависит явно от времени посредством средней аномалии Солнца поэтому вместо канонической системы шестого порядка (4.3.22) Делоне и Цейпель рассматривали каноническую систему восьмого порядка:

где

— среднее движение Солнца.

Уравнения (4.8.13) отличаются от (4.3.22) тем, что их гамильтониан не зависит явно от времени.

Основная идея метода Делоне заключается в том, что с помощью некоторого канонического преобразования переменных из канонических уравнений исключаются наиболее влиятельные члены. Заменим гамильтониан в уравнениях (4.8.13) приближенным значением

где

Гамильтониан (4.8.16) отличается от (4.8.14) тем, что в (4.8.16) сохранены лишь два члена разложения возмущающей функции (4.8.12) с коэффициентами где принимают конкретные значения. Оставленный единственный периодический член в гамильтониане (4.8.16) имеет относительно больший коэффициент, чем все другие отброшенные периодические члены из (4.8.12).

Ради симметрии введем обозначения

Тогда вместо системы (4.8.13) рассмотрим уравнения

Вместо прежних канонических переменных .) с помощью производящей функции введем такие новые канонические переменные чтобы в преобразованных уравнениях гамильтониан был бы функцией только

В теории движения Луны функция имеет множителем малый параметр (отношение квадратов средних

движений Солнца и Луны поэтому производящую функцию будем искать в виде ряда по степеням малого параметра к:

в котором член пропорционален V. Новый гамильтониан можно также представить рядом

С точностью до членов второго порядка относительно к включительно новый гамильтониан и производящая функция выражаются формулами

(см. скан)

По аналогичным формулам можно вычислить и приближения более высоких порядков. Для этого необходимо воспользоваться

основным уравнением метода Делоне — Цейпеля:

Соответствующие приближения получаются из (4.8.22), если разложить левую часть в ряд Тейлора и приравнять величины одинакового порядка малости. Связь между старыми и новыми каноническими переменными выражается равенствами

С помощью теоремы о неявных функциях из (4.8.23) получим в виде функций -Величины являются некоторым приближением для точных элементов Делоне, так как мы рассматривали приближенные уравнения движения (4.8.19) вместо точных уравнений (4.8.13). Указанный метод позволяет, в сущности, исключить из уравнений член, содержащий Если в конкретной задаче требуется исключить другие члены, аргументы которых кратны 0, то можно повторить преобразование Делоне — Цейпеля, однако здесь встречаются трудности, связанные с появлением малых знаменателей [см. формулы (4.8.21)]. Влияние малых знаменателей различно в различных задачах небесной механики, но, как показали Делоне и Цейпель, в теории движения Луны эти трудности преодолимы. Следует, однако, сказать, что строгого математического обоснования метода Делоне не получено (имеется в виду доказательство сходимости использованных рядов).

Брауэр [2] модифицировал метод Делоне применительно к задаче о движении искусственного спутника.