производную 
в силу системы (10.3.16). Если при некотором 
в любой окрестности 
а найдется точка 
в которой выполняется неравенство
то тривиальное решение 
системы (10.3.16) неустойчиво в смысле Ляпунова при 
Замечание 1. Во всех теоремах область определения функции 
вообще говоря, больше области определения функции 
Это условие задано включением 
Замечание 2. В третьей теореме 
не обязательно знакоопределенная функция.
Замечание 3. Как заметил Н. Г. Четаев [71], для того чтобы тривиальное решение 
было неустойчивым, достаточно наличия хотя бы одного решения, исходящего из каждой, сколь угодно малой окрестности начала 
и выходящего за пределы фиксированной окрестности. Тем самым условия третьей теоремы Ляпунова могут быть ослаблены, что и сделал Н. Г. Четаев (см. теорему Четаева в [32], [71]).
Пусть
где А — постоянная 
-матрица, и вектор-функция 
такова, что 
стремится к нулю равномерно по 
Тогда справедлива следующая теорема, составляющая основу первого метода Ляпунова.
Теорема. Если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части, то тривиальное решение 
системы (10.3.16) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при 
такая, что ее полная производная 
по 
в силу системы (10.3.16) является знакопостоянно отрицательной, то ее тривиальное решение 
устойчиво в смысле Ляпунова при 
допускающая бесконечно малый высший предел при 
и такая, что ее полная производная 
по 
в силу системы (10.3.16) является знакоопределенно отрицательной, то ее тривиальное решение 
асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при 
допускает бесконечно малый высший предел при 
и имеет знакоопределенную
