§ 4.08. Либрация Луны
Вращение Луны в первом приближении описывается тремя эмпирическими законами, открытыми в 1693 г. и носящими имя Кассини. Законы Кассини можно сформулировать следующим образом.
1. Луна вращается равномерно вокруг оси, остающейся неподвижной в теле Луны, причем период вращения Луны совпадает с периодом ее обращения по орбите вокруг Земли.
2. Плоскость экватора Луны сохраняет постоянный наклон к эклиптике.
3. Восходящий узел экватора Луны на эклиптике всегда совпадает с нисходящим узлом орбиты Луны на эклиптике.
Экватор Луны, о котором идет речь в законах Кассини, называется средним экватором Луны. Экватор Луны, в положении которого учтена физическая либрация в наклоне и узле, называется истинным экватором Луны.
Осевое вращение Луны с равномерной угловой скоростью и неравномерное, согласно закону площадей, движение Луны по геоцентрической орбите определяют для земного наблюдателя кажущиеся колебания Луны в восточно-западном направлении. Это явление называется оптической (геометрической) либрацией Луны по долготе. Вследствие наклона экватора Луны к лунной орбите возникают кажущиеся колебания Луны в северно-южном направлении; эти колебания называются оптической (геометрической) либрацией Луны по широте. Оптическая либрация по широте равна селенографической широте земного наблюдателя, отсчитываемой от среднего экватора Луны; ее геоцентрическое значение равно 
топоцентрическое значение — 
Если оптическая либрация по долготе есть I (геоцентрическое значение, отличное от топоцентрического Г), то селенографическая долгота земного наблюдателя равна I. Геоцентрическая оптическая либрация по широте 
обращается в нуль, когда Луна проходит через узлы орбиты; поэтому период этой либрации равен драконическому месяцу в 
амплитуда 6° 40. Геоцентрическая либрация по долготе 
обращается в нуль, когда Луна находится в окрестности перигея и апогея (в сизигиях); ее средний период равен аномалистическому месяцу в 
и амплитуда колеблется от 
до 
вследствие изменений элементов орбиты Луны.
Если 
— истинные топоцентрические эклиптические координаты Луны, то топоцентрическая оптическая либрация по долготе 
и по широте 
может быть вычислена по точным формулам
в которых 
— нутация в долготе, 
— долгота восходящего узла орбиты Луны на эклиптике, 
— наклон экватора Луны к эклиптике.
Если взять геоцентрические эклиптические координаты Луны 
то формулы (1.4.10) дадут геоцентрическую оптическую либрацию по долготе 
и по широте 
Приближенные формулы для оптической либрации Луны могут быть выведены из (1.4.10); они приведены в астрономических ежегодниках (см. например, [25]).
Перемещение земного наблюдателя, обусловленное суточным вращением Земли, вызывает весьма малую суточную, или параллактическую либрацию Луны,
Отклонение реального вращательного движения Луны от вращения, характеризуемого законами Кассини, обусловлено явлением, порожденным колебаниями Луны относительно некоторого среднего положения и называемым физической либрацией Луны. Амплитуда наибольшего члена физической либрации не превосходит нескольких дуговых минут.
Если рассмотреть вращение Луны как движение системы прямоугольных координат 
ось 
которой направлена по первому радиусу Луны, ось 
к востоку от 
на 90° и ось 
— в северный полюс Луны, относительно системы эклиптических прямоугольных координат 
то взаимное расположение обеих систем в каждый момент времени можно определить углами Эйлера 
имеющими следующий смысл:
Ф — угловое расстояние положительного направления оси 
от нисходящего узла экватора Луны на эклиптике,
— наклон экватора Луны к эклиптике,
— долгота нисходящего узла экватора Луны на эклиптике.
Законы Кассини можно математически выразить через углы Эйлера в форме
Действительное вращение Луны описывается «возмущенными» углами Эйлера, т. е. для точного описания реального движения необходимо ввести возмущения — функции времени 
; тогда
суть выражения для «возмущенных» углов Эйлера.
Величина 
называется физической либрацией Луны по долготе, 
— физической либрацией наклона, в — физической либрацией в узле.
Решение уравнений Эйлера, составленных в предположении, что Луна есть абсолютно твердое тело и величины 
а — малые первого порядка, а именно:
в которых 
— компоненты вектора угловой скорости вращения Луны по осям 
— функции главных моментов инерции относительно осей 
— масса Земли, 
— геоцентрическое расстояние Луны, х, у, z — луноцентрические геоэкваториальные координаты Земли, дает выражения для 
в виде разложений в ряды периодических членов,
аргументы которых построены в виде комбинаций фундаментальных аргументов теории Луны Брауна.
Таким образом, эти разложения имеют вид
где аргументы 
определяются равенствами типа
а коэффициенты 
с зависят от постоянной физической либрации 
равной отношению величин 
В «Астрономическом Ежегоднике СССР» принято значение 
если принять 
и наклон 
то для 
получим
что соответствует значениям главных моментов инерции Луны В и С:
В последние годы обработка результатов лазерной локации Луны, полученных при помощи лазерных уголковых отражателей, установленных на лунной поверхности экипажами космических кораблей серии «Аполлон» (США), привела к необходимости уточнения ряда параметров фигуры и вращательного движения, т. е. физической либрации Луны. Некоторые из этих параметров, а также коэффициенты гармоник третьего и четвертого порядков разложения гравитационного поля Луны, определенные на основе анализа траекторных измерений искусственных спутников Луны типа Lunar Orbiter, приведены в табл. 39 [67]. Коэффициенты разложений компонент физической либрации Луны и аргументы, соответствующие указанным значениям 
и у и учету влияния вторых гармоник в фигуре Луны, заданы табл. 40 [67].
Таблица 39 (см. скан)
Таблица 40 (см. скан)
Учет гармоник третьего и четвертого порядков в разложении гравитационного потенциала Луны дает следующие члены в разложениях компонент физической либрации Луны [67] (табл. 41).
