Глава 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ

Для определения элементов невозмущенной кеплеровской орбиты небесного тела относительно Солнца достаточно вообще трех наблюдений с Земли, произведенных в различные моменты и дающих на каждый момент прямое восхождение а и склонение наблюдаемого объекта.

Первый этап в этой задаче состоит в определении двух гелиоцентрических положений небесного тела на крайние моменты наблюдений, второй этап — в непосредственном вычислении элементов орбиты по двум гелиоцентрическим положениям и третий этап — в вычислении по полученным элементам геоцентрических координат небесного тела на средний момент (для контроля). В данной главе будут приведены формулы и уравнения, позволяющие провести все эти вычисления.

Кроме того, мы приведем формулы, позволяющие вычислить элементы орбиты по начальным положению и скорости (гелиоцентрическим).

Основные методы определения орбит изложены в работах [1] — [3]. См. также [6].

§ 2.01. Определение гелиоцентрических положений по трем геоцентрическим наблюдениям в случае эллиптической или гиперболической орбит

Пусть даны три пары наблюденных геоцентрических координат небесного тела на моменты времени соответственно. (Такая нумерация наблюдений принимается для удобства обозначений при записи дальнейших формул.) Требуется найти прямоугольные гелиоцентрические экваториальные координаты этого небесного тела на моменты соответственно. Одновременно находятся также и координаты на средний момент

Последовательность вычислений следующая.

а) Вычисляем величины

(направляющие косинусы геоцентрических радиусов-векторов

и определители

где — прямоугольные геоцентрические экваториальные координаты Солнца на моменты соответственно.

Все эти величины остаются постоянными при дальнейших вычислениях.

Соотношение для контроля:

где — определитель, получаемый из D путем замены элементов первого столбца величинами соответственно, причем

б) Вычисляем величины

в) Из уравнений

где

определяем геоцентрическое расстояние и гелиоцентрическое расстояние на момент

Обычно эти уравнения записывают в виде

где

и решают методом последовательных приближений.

Можно также использовать вместо (3.2.06) более точные формулы для

и вместо первого из уравнений (3.2.07) более точное соотношение

где

г) Используя полученные значения а также вычисленные по формулам (3.2.06) или (3.2.08), находим геоцентрические расстояния на моменты соответственно по двум из трех уравнений:

причем выбираем непосредственно для вычислений такие два уравнения, для которых определитель коэффициентов левых частей наибольший.

Эти уравнения отражают точную зависимость между при условии, что суть точные отношения площадей треугольников

об, азованных соответствующими гелиоцентрическими радиусами-векторами Формулы (3.2.06) или (3.2.08) дают приближенные значения

д) Вычисляем гелиоцентрические координаты и гелиоцентрические расстояния по формулам

Соотношения для контроля:

1) , где (-значение, полученное при решении уравнений (3.2.05);

е) Исправляем моменты наблюдений учитывая скорость света (вводя поправку за аберрационное время) по формуле

где с — скорость света; в принятых единицах измерения

Вычисления, указанные в пунктах б) дают нам геоцентрические расстояния и гелиоцентрические координаты в первом приближении.

Второе приближение для этих величин получим следующим образом.

а) Перевычисляем величины , беря моменты исправленные за аберрацию.

б) Исходя из значений гелиоцентрических расстояний, полученных в первом приближении, находим величины представляющие отношения площадей секторов к соответствующим площадям треугольников:

Рассмотрим, например, формулы для вычисления Эта величина может быть представлена непрерывной дробью

где

и вычислена с помощью итераций. В первом приближении полагают

и находят по формуле (3.2.14) первое приближение для Затем вычисляют последовательно по формулам (3.2.17), (3.2.16), (3.2.15) и с новым значением уточняют

в) Вычисляем более точные значения величин по формулам и с этими значениями находим уточненные значения непосредственно из уравнений (3.2.11).

г) По формулам (3.2.12) вычисляем второе приближение для .

Точно так же можно получить дальнейшие приближения, но обычно они не требуются.

Случаи эллиптической и гиперболической орбит отличаются друг от друга тем, что при вычислении в первом случае , а во втором .