§ 3.05. Максимизация высоты вертикального подъема ракеты в однородном поле тяжести
Пусть исследуется движение ракеты при следующих предположениях:
а) ускорение силы тяжести постоянно, 
б) вектор тяги направлен вертикально вверх;
в) скорость истечения частиц с постоянна;
г) сопротивление атмосферы отсутствует.
Если закон изменения массы 
известен, то интегрирование уравнения вертикального подъема ракеты можно довести до конца. Действительно, внешнее поле определяется силой 
поэтому уравнение (8.3.01) принимает вид
В результате интегрирования (8.3.28) имеем
или, так как 
Повторное интегрирование определяет высоту подъема ракеты как функцию времени
Пусть 
— общая длина всех активных участков, а 
— общая длина всех пассивных участков траектории. Тогда высота подъема ракеты 
равна
1. Простейшая вариационная задача. Предположим, что выполнены условия а) — г), и пусть кроме того, заданы масса топлива 
и некоторое 
-параметрическое множество Ф функций 
Требуется решить задачу о максимизации высоты подъема ракеты на множестве Ф.
Пусть 
— момент полного сгорания топлива. Тогда из соотношения
можно найти 
как функцию параметров 
Обозначим эту зависимость через
Формулы
полученные из (8.3.29) и (8.3.30), выражают скорость ракеты и длины активного и пассивного участков как функции параметров 
Общая высота подъема ракеты равна
Соотношение (8.3.36) показывает, что задача о максимизации высоты 
в известном классе функций 
является задачей об исследовании на экстремум функции 
переменных 
(см. [1], [9], [30], [63]). Полное решение задачи для однопараметрических семейств функций 
дано в [47].
2. Общая вариационная задача. Уравнениям (8.3.13), (8.3.14) можно придать форму
Если секундный расход топлива ограничен, то следует добавить еще условие (8.3.17)
Пусть, кроме того, заданы граничные условия:
3. Формулировка задачи. В классе функций 
удовлетворяющих уравнениям (8.3.37), (8.3.17) и граничным условиям (8.3.38), найти такую систему функций, которая максимизирует функционал
где Н — наибольшая (конечная) высота?
Функция Лагранжа (8.3.19) для данной задачи равна
а уравнения Эйлера — Лагранжа (8.3.20) принимают вид
Анализ уравненнй (8.3.41), выполненный Миеле [55], [64], Лоуденом [20], Лейтманом [65], показывает, что оптимальная траектория состоит лишь из участков нулевой тяги и участков максимальной тягн, причем на оптимальной траектории имеется только одна угловая точка, т. е. оптималь состоит из двух участков (участка максимальной тяги и участка нулевой тяги). Для данной задачи легко находится также функция переключения величины тяги 
Из уравнений (8.3.41) вытекает, что одномерный базис-вектор 
является линейной функцией времени.
