Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ

В главе 3 рассматриваются дифференциальные уравнения возмущенного движения одного тела, получающиеся методом вариации произвольных постоянных. Приводятся различные формы уравнений для различных систем оскулирующих элементов. Рассмотрены случаи потенциальных и непотенциальных возмущающих сил. Приведены канонические формы уравнений возмущенного движения. Приведенные формы уравнений движения используются как в классической небесной механике, так и в астродинамике. Различные способы выводов этих уравнений даются в [1] — [7].

§ 3.01. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

Пусть точка Р движется в пространстве под действием притяжения некоторого центрального тела и добавочной возмущающей силы, являющейся произвольной функцией времени, положения и скорости движущейся точки. Обозначим через х, у, z прямоугольные координаты точки Р в системе координат с неизменными направлениями осей, через — проекции ускорения, вызываемого действием силы притяжения точки Р центральным телом через X, Y, Z — проекции возмущающего ускорения.

Тогда дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат имеют вид

Если — материальная точка или шар со сферическим распределением плотностей, то

где — постоянная тяготения, масса точки масса, тела

Если положить то система (4.3.01) обращается в систему уравнений невозмущенного кеплеровского движения

общее решение которой выражается равенствами

Общее решение (4.3.04) уравнений невозмущенного движения зависит от шести произвольных постоянных, например, , а (или для эллиптического движения (см. ч. II, гл. 1, 2).

Согласно методу Лагранжа решение уравнений (4.3.01) отыскивается в том же виде (4.3.04), что и решение невозмущенной системы, лишь с той разницей, что рассматриваются в формулах (4.3.04) не как постоянные, а как функции времени, определяемые таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения возмущенного движения (4.3.01).

Следовательно, формулы (4.3.04) можно рассматривать как формулы перехода от старых переменных к новым переменным

Если такую замену осуществить, то вместо дифференциальных уравнений возмущенного движения (4.3.01) будем иметь

новую систему дифференциальных уравнений

где

равносильную системе (4.3.01).

Траектория возмущенного движения в каждый момент времени соприкасается с траекторией невозмущенного движения для этого же момента и представляет собой огибающую семейства траекторий невозмущенных движений.

Траектории семейства невозмущенных движений называются оскулирующими орбитами, а их элементы — оскулирующими элементами. Система дифференциальных уравнений (4.3.05) может быть названа системой уравнений для оскулирующих элементов. Возмущенное движение может рассматриваться как непрерывно изменяющееся кеплеровское движение, а возмущенная орбита — как непрерывно изменяющаяся оскулирующая орбита.