Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ
В главе 3 рассматриваются дифференциальные уравнения возмущенного движения одного тела, получающиеся методом вариации произвольных постоянных. Приводятся различные формы уравнений для различных систем оскулирующих элементов. Рассмотрены случаи потенциальных и непотенциальных возмущающих сил. Приведены канонические формы уравнений возмущенного движения. Приведенные формы уравнений движения используются как в классической небесной механике, так и в астродинамике. Различные способы выводов этих уравнений даются в [1] — [7].
§ 3.01. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных
Пусть точка Р движется в пространстве под действием притяжения некоторого центрального тела 
и добавочной возмущающей силы, являющейся произвольной функцией времени, положения и скорости движущейся точки. Обозначим через х, у, z прямоугольные координаты точки Р в системе координат 
с неизменными направлениями осей, через 
— проекции ускорения, вызываемого действием силы притяжения точки Р центральным телом 
через X, Y, Z — проекции возмущающего ускорения.
Тогда дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат имеют вид
Если 
— материальная точка или шар со сферическим распределением плотностей, то
где 
— постоянная тяготения, 
масса точки 
масса, тела 
Если положить 
то система (4.3.01) обращается в систему уравнений невозмущенного кеплеровского движения
общее решение которой выражается равенствами
Общее решение (4.3.04) уравнений невозмущенного движения зависит от шести произвольных постоянных, например, 
, а (или 
для эллиптического движения (см. ч. II, гл. 1, 2).
Согласно методу Лагранжа решение уравнений (4.3.01) отыскивается в том же виде (4.3.04), что и решение невозмущенной системы, лишь с той разницей, что 
рассматриваются в формулах (4.3.04) не как постоянные, а как функции времени, определяемые таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения возмущенного движения (4.3.01).
Следовательно, формулы (4.3.04) можно рассматривать как формулы перехода от старых переменных 
к новым переменным 
Если такую замену осуществить, то вместо дифференциальных уравнений возмущенного движения (4.3.01) будем иметь
новую систему дифференциальных уравнений
где
равносильную системе (4.3.01).
Траектория возмущенного движения в каждый момент времени соприкасается с траекторией невозмущенного движения для этого же момента и представляет собой огибающую семейства траекторий невозмущенных движений.
Траектории семейства невозмущенных движений называются оскулирующими орбитами, а их элементы — оскулирующими элементами. Система дифференциальных уравнений (4.3.05) может быть названа системой уравнений для оскулирующих элементов. Возмущенное движение может рассматриваться как непрерывно изменяющееся кеплеровское движение, а возмущенная орбита — как непрерывно изменяющаяся оскулирующая орбита.
