§ 4.05. Метод p-траекторий. Структура оптимальной траектории

В книге Лоудена [20] рассмотрено движение ракеты по оптимальной траектории при следующих допущениях:

а) оптимальная траектория — кривая, лежащая в плоскости, проходящей через центр притяжения;

б) поле тяготения ньютоновское;

в) время перелета не фиксировано и подлежит оптимизации;

г) все участки максимальной тяги суть точки соединения.

Предположение а) означает, что базис-вектор является двумерным. Предположение в) упрощает интегрирование уравнений для базиса-вектора (см. §§ 4.02, 4.04), так как согласно замечанию из § 3.03 первый интеграл (8.3.25) уравнений для базиса-вектора имеет более простой вид. Предположение г) означает, что максимальная тяга аппроксимируется импульсами.

Если уравнения для базиса-вектора проинтегрированы и, следовательно, известна явная зависимость проекций

базиса-вектора от времени или от другого параметра (например, от истинной аномалии), то, исключая время, получим уравнение -траектории, содержащее модуль базиса-вектора. Аналитический вид уравнения -траектории весьма громоздок даже для участка нулевой тяги [20], а для других участков оптимальной траектории получение уравнения -траектории встречает непреодолимые трудности, связанные с интегрированием уравнений (8.4.12) — (8.4.18).

Исследование на экстремум модуля базиса-вектора как функции истинной аномалии, выполненное Лоуденом [20], [77], [78] для определения постоянной Р (см. § 3.03), позволяет сделать вывод: если один из участков оптимальной траектории является пассивным и представляет дугу конического сечения и он начался (или закончился) в результате действия импульса, приложенного в апсидальной точке и направленного по касательной к орбите, то тогда и все остальные участки траектории являются пассивными и точки соединения всегда совпадают с их апсидальными точками. В частности, если дуга круговой орбиты является частью оптимальной траектории, то и все остальные пассивные участки оптимальной траектории являются дугами конических сечений с совпадающими осями. Таким образом, оптимальная траектория состоит из пассивных участков (дуг конических сечений), началами и концами которых являются точки соединения.