§ 1.08. Условно-периодические решения в небесной механике. Геометрическая интерпретация

По традиции в задачах небесной механики условно-периодическим называется [140] такое решение, в котором позиционные переменные (большая полуось, эксцентриситет, наклон и аналогичные им канонические переменные) выражаются в виде условно-периодических функций времени, т. е. имеют вид (10.1.39)

а угловые переменные (средняя и истинная долготы, средняя аномалия, долгота перицентра, долгота узла и др.) выражаются в виде сумм линейных функций и условно-периодических функций времени, т. е.

Не существуют в задачах небесной механики такие решения, в которых все переменные (позиционные и угловые) представлялись бы условно-периодическими функциями вида (10.1.58).

Можно дать два геометрических изображения условно-периодических решений. Рассмотрим, ради простоты, совокупность двух пар функций: одна пара — оскулирующие большая полуось и эксцентриситет вторая пара — средняя аномалия и угловое расстояние перицентра

Рис. 106. Изображение эллиптической орбиты планеты Р в ее плоскости.

Предположим, что имеют вид (10.1.58), а — вид (10.1.59). Заметим, что с помощью таких переменных можно описать движение пассивно гравитирующей (нулевой) массы Р в плоской ограниченной задаче трех тел, или движение каждой массы в плоской -планетной задаче.

Рис. 107. Изображение эллиптической орбиты на торе.

В невозмущенной задаче т. е. две позиционные переменные и одна угловая переменная суть постоянные, а вторая угловая переменная — линейная функция времени. Не ограничивая общность, можно положить

Одно геометрическое изображение для случая дано на рис. 106. Эллиптическая орбита точки Р неподвижна в неподвижной системе координат и касается двух окружностей: окружности, радиус которой равен расстоянию перицентра и окружности, радиус которой равен расстоянию апоцентра

Для получения второго геометрического изображения воспользуемся тором, образованным прямым произведением двух окружностей [141] с радиусами (рис. 107). Введем на торе две угловые координаты: долготу М и широту

Так как то движение точки Р на торе изображается равномерным движением по экватору тора.

Допустим теперь, что суть функции вида вида (10.1.59). Так как условно-периодические функции ограничены для всех имеем

причем

Если ввести теперь величины

то очевидно, что

Для всех существует плоское круговое кольцо Гпип внутри которого происходит движение точки Р (рис. 108). Траектория иногда может касаться как внутренней, так и внешней границы кольца, но вероятность такого события равна нулю.

Рис. 108 Изображение условнопериодического движения в плоскости орбиты.

Рис. 109. Периплегматическая орбита в задаче трех тел.

Если существует условно-периодическое решение, в котором имеют вид (10.1.59), то такое решение изображено на рис. 109. Такие решения часто называются периплегматическими. За бесконечное время угловые переменные увеличиваются бесконечное число раз на т. е. движущаяся точка Р бесконечное число раз обходит начало координат, а воображаемая прямая, соединяющая смежные по максимум и минимум кривой, также совершает бесконечное число поворотов вокруг начала.

Если для геометрического изображения воспользоваться тором, то тогда существует в трехмерном пространстве тор (бублик) с радиусами а движение точки Р изображается кривой, целиком расположенной внутри тора. При этом точка совершает бесконечное число оборотов по долготе и бесконечное число раз переходит из верхней (северной) части тора в нижнюю (южную). При и точка движется по поверхности тора с радиусами совершая бесконечное число оборотов по долготе и широте (рис. 110, 111).

Таким образом, в случае имеем обмотку поверхности тора (если он и рационально несоизмеримы) или «заметывание» кольца.

В общем случае имеем «заметывание» кольца, или всюду полное наполнение тора.

Рис. 110. Изображение пространственного условно-периодического движения.

Рис. 111. Изображение услозно-периодического движения на торе.

В исключительныхслучаях (например, если рационально соизмеримы) траектория замыкается после некоторого числа оборотов, и мы получаем периодическое решение. Аналогичные геометрические интерпретации условно-периодических решений можно дать и в случае большего числа позиционных и угловых переменных. Например, в пространственной ограниченной задаче трех тел число позиционных и угловых переменных равно соответственно трем Вместо кругового плоского кольца следует рассматривать полый цилиндр, основанием которого служит круговое кольцо, а высота равна где Вместо двумерной поверхности тора следует рассматривать трехмерную поверхность тора, полученную прямым произведением трех окружностей с радиусами

Первые условно-периодические решения в задаче трех тел нашел Пуанкаре [2]. Его метод малого параметра (см. § 1.01) позволяет находить в определенных системах координат условно-периодические решения задачи трех тел. Периодические решения первого, второго, третьего сорта суть, вообще говоря,

условно-периодические решения, так как координаты точек в неподвижной прямоугольной системе координат даются функциями типа (10.1.59). Периодические решения Шварцшильда (см. § 1.03) также являются условно-периодическими решениями в неподвижной системе координат.

Условно-периодические решения -планетной задачи, найденные Арнольдом в § 1.07, являются условно-периодическими решениями второго сорта, пользуясь терминологией Пуанкаре.

В. Джефрисом и Мозером [42] и Г. А. Красинским [43] доказано существование условно-периодических решений первого сорта (почти-круговых движений) в задаче трех тел и в плоской -планетной задаче.

Рис. словно-периодическое цвижение спутника на эллипсоидальной поверхности.

Рис. 113. Часть трехмерного пространства, в которой происходит условно-периодическое движение спутника.

Построены условно-периодические решения в окрестности точек либрации [36], [140]. Условно-периодические решения в осредненных вариантах плоской ограниченной задачи трех тел найдены в [29], [140]. Все перечисленные классы условно-периодических решений имеют «периплегмэтический» характер, или суть движения в торах или на торе.

Дж. Винти [45], М. Кисликом [46], Е. П. Аксеновым, В. Г. Деминым и Е. А. Гребениковым [47] доказано существование условно-периодических решений в задаче о движении искусственного спутника сфероидальной планеты. Ими доказано, что при отрицательных энергиях спутника существуют условнопериодические решения, всюду плотно обматывающие часть эллипсоидальной поверхности, заключенной между двумя параллелями (рис. 112), или всюду плотно заполняющие тело вращения, образованное вращением фигуры (рис. 113) вокруг оси

В конце заметим, что доказательство существования условно-периодических решений в планетных задачах, основанное на

применении методов ускоренной сходимости ньютоновского типа [48], содержит в себе и способ построения некоторых классов условно-периодических решений гамильтоновых систем. Конструктивная часть метода достаточно подробно описана Рябовым [140].