Глава 2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ НЕВОЗМУЩЕННОГО КЕПЛЕРОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

В главе 2 приводится общее решение задачи двух тел для различных типов движения (эллиптического, гиперболического, параболического и прямолинейного). Подробное освещение этих вопросов можно найти в [1] — [5].

§ 2.01. Эллиптическое движение

Эллиптическое движение определяется следующими условиями:

где — постоянная энергии, и — значения модулей радиуса-вектора и скорости в начальный момент времени.

1. Элементы орбиты. Эллиптическая орбита характеризуется следующей основной системой элементов: а — большая полуось, — эксцентриситет, -наклон, Я — долгота восходящего узла, — угловое расстояние перицентра от узла, — средняя аномалия в эпоху (см. § 1.04). В литературе часто встречаются различные модификации элементов Так, вместо элемента а можно рассматривать параметр орбиты элемент среднее движение период обращения Т, которые связаны с а формулами

В случае движения относительно Солнца называется перигелийным расстоянием, в случае движения относительно Земли называется перигейным расстоянием и т. д.

Вместо иногда рассматривают элемент определяемый формулой

и называемый углом эксцентриситета.

Вместо со часто вводят элемент

называемый долготой перицентра.

Вместо можно рассматривать момент прохождения через перицентр и среднюю долготу в эпоху связанные с равенствами

где — начальный момент времени (эпоха).

2. Вычисление прямоугольных координат. Пусть, как и раньше (см. § 1.01), движение тела Р рассматривается в системе координат Тогда для вычисления могут служить следующие формулы:

Здесь М называется средней аномалией, Е — эксцентрической аномалией, — истинной аномалией, и — аргументом широты, а уравнение (2.2.07) — уравнением Кеплера.

Формулы (2.2.06) — (2.2.11) позволяют вычислить прямоугольные координаты для любого момента времени если известны элементы Действительно, вычислив по первой формуле мы для любого момента по формуле (2.2.06) находим М. Решив далее уравнение Кеплера (2.2.07), находим Е, после чего по формулам (2.2.08) — (2.2.10) вычисляем последовательно , а затем по формулам (2.2.11) .

Для решения уравнения Кеплера обычно используется метод последовательных приближений. При этом в качестве первого

приближения для Е принимается М или некоторая величина, для которой в зависимости от М и построены специальные таблицы. Для значений эксцентриситета, близких к единице, приведенные выше формулы малопригодны. Модификация формул для этого случая дана в § 1.03 ч. III.

Достаточно полный обзор работ, посвященных способам решения уравнения Кеплера, содержит статья [6]. Вспомогательные таблицы приводятся в [7] — [11]. Кроме того, можно указать также таблицы для значений и — М в зависимости от Для вычисления положений ИСЗ И. Д. Жонголовичем и

В. М. Амелиным составлены таблицы, дающие с точностью до

Радиус-вектор и прямоугольные координаты можно вычислять и по другим формулам, не требующим знания истинной аномалии V. Эти формулы имеют вид

Здесь и — орбитальные координаты, а направляющие коси нусы определяются через элементы следующим образом:

Для контроля вычислений используют равенства

При массовых вычислениях формулы (2.2.12) — (2.2.16) имеют преимущество по сравнению с формулами (2.2.08) — (2.2.11), ибо величины не зависят от времени и

для каждого момента нужно вычислять лишь , после чего легко находятся а затем и

3. Скорость в эллиптическом движении. Пусть V — скорость, — радиальная скорость и — трансверсальная скорость. Тогда

Дифференцируя по времени формулы (2.2.11), найдем

Эти формулы позволяют вычислить проекции скорости на оси координат. Для вычисления V имеем формулу

которую можно использовать для контроля.