§ 9.01. Основные схемы осреднения возмущающей функции в двухпланетной задаче

Макеты страниц

Глава 9. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА СХЕМАХ ОСРЕДНЕНИЯ

Большинство методов, изложенных в главах 7 и 8, основано на использовании кеплеровского эллипса в качестве нулевого приближения для построения теории возмущений. Такой подход целесообразен в следующих случаях:

1) возмущения достаточно малы;

2) промежуток времени, на котором используется возмущенная теория, невелик;

3) имеют место одновременно случаи 1) и 2).

Если не имеют места случаи 1)-3), тогда целесообразно строить варианты теории возмущений, основанные на применении асимптотических методов [32].

К таким задачам относятся так называемые «резонансные задачи», для которых характерна соизмеримость средних движений планет, приводящая к появлению малых знаменателей в процессе построения классических вариантов теории возмущений.

Сущность излагаемых методов состоит в том, что в качестве нулевого приближения (или промежуточной орбиты) для решения уравнений динамики берется не решение задачи двух тел, а решение одного из упрощенных вариантов ограниченной круговой задачи трех тел, чаще всего получаемых с помощью методов осреднения. Далее, теория возмущений строится с помощью метода Н. Н. Боголюбова [32] и его вариантов, разработанных для задач с быстрыми и медленными переменными [33] и специально для планетных задач [34] — [36].

§ 9.01. Основные схемы осреднения возмущающей функции в двухпланетной задаче

Все схемы осреднения возмущающей функции делятся на две группы.

1) Схемы осреднения, не учитывающие соизмеримость или почти соизмеримость средних движений возмущающей и

возмущаемой планет. К ним относятся схемы К. Гаусса. П. Фату и Н. Д. Моисеева [31].

2) Схемы осреднения, учитывающие это свойств К таковым относятся прежде всего схемы Делоне — Хилла [31].

Пусть разложение возмущающей функции для ограниченной круговой задачи трех тел имеет вид

где — постоянная тяготения, масса возмущающей планеты (обычно Юпитера), — кеплеровские элементы орбиты возмущаемой планеты, — средняя аномалия возмущающей планеты.

Удобно рассматривать разложение (4.9.01) в виде суммы трех функций:

кроме

Функции называются соответственно вековой, резонансной (долгопериодической) и нерезонансной (короткопериодической) частями возмущающей функции

Отличие между разложениями (4.9.03) и (4.9.04) состоит в том, что суммирование в (4.9.03) ведется только по тем значениям индексов которые удовлетворяют условию

а в (4.9.04) выполняется противоположное неравенство. При использовании классических методов теории возмущений функция порождает «малые знаменатели» в теории возмущений, или долгопериодические неравенства.