Глава 9. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА СХЕМАХ ОСРЕДНЕНИЯ
Большинство методов, изложенных в главах 7 и 8, основано на использовании кеплеровского эллипса в качестве нулевого приближения для построения теории возмущений. Такой подход целесообразен в следующих случаях:
1) возмущения достаточно малы;
2) промежуток времени, на котором используется возмущенная теория, невелик;
3) имеют место одновременно случаи 1) и 2).
Если не имеют места случаи 1)-3), тогда целесообразно строить варианты теории возмущений, основанные на применении асимптотических методов [32].
К таким задачам относятся так называемые «резонансные задачи», для которых характерна соизмеримость средних движений планет, приводящая к появлению малых знаменателей в процессе построения классических вариантов теории возмущений.
Сущность излагаемых методов состоит в том, что в качестве нулевого приближения (или промежуточной орбиты) для решения уравнений динамики берется не решение задачи двух тел, а решение одного из упрощенных вариантов ограниченной круговой задачи трех тел, чаще всего получаемых с помощью методов осреднения. Далее, теория возмущений строится с помощью метода Н. Н. Боголюбова [32] и его вариантов, разработанных для задач с быстрыми и медленными переменными [33] и специально для планетных задач [34] — [36].
§ 9.01. Основные схемы осреднения возмущающей функции в двухпланетной задаче
Все схемы осреднения возмущающей функции 
делятся на две группы.
1) Схемы осреднения, не учитывающие соизмеримость или почти соизмеримость средних движений возмущающей и
возмущаемой планет. К ним относятся схемы К. Гаусса. П. Фату и Н. Д. Моисеева [31].
2) Схемы осреднения, учитывающие это свойств К таковым относятся прежде всего схемы Делоне — Хилла [31].
Пусть разложение возмущающей функции 
для ограниченной круговой задачи трех тел имеет вид
где 
— постоянная тяготения, 
масса возмущающей планеты (обычно Юпитера), 
— кеплеровские элементы орбиты возмущаемой планеты, 
— средняя аномалия возмущающей планеты.
Удобно рассматривать разложение (4.9.01) в виде суммы трех функций:
кроме 
Функции 
называются соответственно вековой, резонансной (долгопериодической) и нерезонансной (короткопериодической) частями возмущающей функции 
Отличие между разложениями (4.9.03) и (4.9.04) состоит в том, что суммирование в (4.9.03) ведется только по тем значениям индексов 
которые удовлетворяют условию
а в (4.9.04) выполняется противоположное неравенство. При использовании классических методов теории возмущений функция 
порождает «малые знаменатели» в теории возмущений, или долгопериодические неравенства.
Действительно, если 
то
где 
— величина, не зависящая от времени. При условии 
коэффициенты при тригонометрических функциях могут достигать сколь угодно больших величин.
1. Схема К. Гаусса. Будем обозначать осредненную возмущающую функцию во всех схемах через 
Согласно схеме Гаусса
или
2. Схема П. Фату:
или
Для плоского варианта схемы Фату имеем [34]
3. Схема Н. Д. Моисеева:
или
Для плоского варианта схемы Н. Д. Моисеева имеем [34]
4. Первая схема Делоне — Хилла. Введем аномалию Делоне D по формуле
где 
— некоторые известные положительные числа и такие, что 
С помощью (4.9.13) исключим из разложения (4.9.01) величину 
Получим
В результате осреднения разложения (4.9.14) по М получаем
или
Для плоского варианта первой схемы Делоне — Хилла имеем [31]
В плоском варианте аномалия Делоне D выражается соотношением
5. Вторая схема Делоне — Хилла. Введем обобщенную аномалию Делоне D по формуле
и исключим из разложения (4.9.01) разность 
Будем иметь
Осредненная возмущающая функция 
вычисляется по формуле
Для плоского случая
Более подробные сведения о приведенных схемах можно найти в [31].
