§ 4.04. Лунно-солнечные возмущения

1. Система координат и возмущающая функция. Рассмотрим сначала возмущения, вызываемые Луной. Пусть Охуг — прямоугольная, геоцентрическая система координат, плоскость которой совпадает с плоскостью орбиты Луны, а ось направлена в перигей лунной орбиты. Обозначим далее через наклон, долготу узла и угловое расстояние перигея от узла орбиты спутника, отнесенные к этой системе координат. Тогда возмущающая функция, обусловленная притяжением спутника Луной, дается формулой

Здесь — постоянная тяготения, — масса Луны,

где — прямоугольные координаты Луны, — истинная аномалия Луны, — аргумент широты спутника

— истинная аномалия спутника.

Если пренебречь параллаксом Луны, то для возмущающей функции будем иметь

2. Вековые и долгопериодические возмущения. Вековые и долгопериодические возмущения элементов спутника, вызываемые притяжением Луны, имеют вид [66] (см. также [67])

(см. скан)

Здесь

а — среднее движение, большая полуось и средняя аномалия Луны в эпоху.

Приведенные формулы получены при условии, что в возмущающей функции отброшены параллактические члены и члены, пропорциональные эксцентриситету орбиты Луны. При выводе этих формул наклон орбиты и эксцентриситет спутника учитывались полностью. Однако пренебрегалось малой величиной

Долгопериодические возмущения имеют период, равный периоду обращения Луны вокруг Земли. Поскольку короткопериодические члены малы (их амплитуды примерно в раз меньше амплитуд долгопериодических возмущений), они были отброшены.

3. Вычисление экваториальных элементов. Формулы (6.4.34) — (6.4.42) дают возмущения элементов и отнесенных к плоскости орбиты Луны, как основной плоскости, и лунному перигею, как основной точке в этой плоскости. Но для вычисления прямоугольных экваториальных координат спутника нам нужны экваториальные элементы, которые обозначим через и .

Рис. 75. Связь между элементами орбиты.

Связь между , и элементами можно установить из сферического треугольника (рис. 75), в котором и П означают соответственно точку весеннего равноденствия,

перигей Луны и перигей спутника. Решая этот треугольник, получим

где — наклон, долгота узла и угловое расстояние перигея от узла лунной орбиты по отношению к плоскости земного экватора. Эти величины можно выразить через эклиптические элементы Луны. Так, например, определяется из формулы

где — наклон эклиптики к экватору, и — наклон и долгота узла лунной орбиты относительно плоскости эклиптики.

Формулы (6.4.43) и (6.4.43) позволяют, таким образом, найти экваториальные элементы и , если известны элементы и .

4. Возмущения, вызываемые притяжением Солнца. Солнечные возмущения элементов орбиты спутника можно вычислить по формулам этого параграфа, если в них принять, что — масса Солнца, — соответственно средняя аномалия в эпоху, долгота перигея, среднее движение и большая полуось солнечной орбиты и При этом элементы и будут отнесены к плоскости эклиптики и перигею орбиты Солнца.

5. Замечания. Рассмотренные в этом параграфе формулы дают основные неравенства в движении спутника, обусловленные притяжением Луны и Солнца. При их выводе были отброшены неравенства, пропорциональные параллаксам и эксцентриситетам возмущающих тел. Эти неравенства можно найти в работах [68], [70].

Построенная теория не является тригонометрической, т. е. в ней содержатся вековые возмущения тех элементов (наклон и эксцентриситет), которых не должно быть по существу задачи. Однако теория достаточно компактна и ею можно пользоваться на промежутках времени порядка нескольких десятков оборотов спутника. Чисто тригонометрическая теория, дающая возмущения экваториальных элементов, развита в работах [69], [70].