§ 3.14. Разностный метод решений краевых задач

Разностный метод состоит в принципе в том, что производные искомой функции заменяются их приближенными выражениями через значения в узлах. Тогда вместо дифференциальных уравнений и краевых условий для функции получаем систему конечных уравнений (алгебраических, трансцендентных) относительно неизвестных значений этой функции в узлах.

Пусть дано, например, уравнение второго порядка

и краевые условия

Отрезок разбиваем на частей равноотстоящими узлами с шагом

Обозначим

и выразим производные во внутренних узлах по разностным формулам (см. (7.2.17))

В крайних узлах имеем

Исходное уравнение (7.3.68) и краевые условия (7.3.69) заменяем соотношениями

представляющими собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Решив эту систему уравнений, получим таблицу значений являющуюся численным решением поставленной краевой задачи (разумеется, приближенным).

В случае нелинейного уравнения вида (7.3.68) с правой частью вместо система (7.3.71) заменится следующей:

Вместе с (7.3.72) получим систему нелинейных конечных уравнений относительно о. Их решение можно искать методом последовательных приближений того или иного типа.

Системы соотношений вида (7.3.71) — (7.3.72) в случае краевых задач для дифференциальных уравнений более высокого порядка или для систем уравнений составляются аналогичным образом. Существует целый ряд вариантов разностных схем и методики решения получаемых систем конечных уравнений (см. [3], [9]). Важными являются вопросы о погрешности получаемых таким путем приближенных численных решений краевой задачи, а также о сходимости процесса при последовательном уменьшении интервала разбиения.

Можно также, получив разностным методом грубое решение, использовать его в качестве нулевого приближения для метода, изложенного в § 3.13.