Часть VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

В небесной механике и динамике космического полета широко применяются численные методы, получившие особенно интенсивное развитие благодаря внедрению ЭВМ. Основные из этих методов: интерполирование и приближенное представление функций, численное дифференцирование и интегрирование, численное решение дифференциальных уравнений, обработка результатов наблюдений по методу наименьших квадратов и др.

Общие вопросы теории излагаются, например, в [1] — [12].

Глава 1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

§ 1.01. Таблица разностей функции

Пусть имеется таблица значений функции для значений аргумента (табл. 80).

Таблица 80

Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда эта таблица составлена для равноотстоящих значений аргумента, так что Величина называется шагом таблицы, значения аргумента называются узлами таблицы.

При интерполировании и численном дифференцировании функции используется таблица ее разностей (табл. 81). В этой таблице через с различными нижними индексами

Таблица 81 (см. скан)

обозначаются первые разности (или разности первого порядка), через — вторые разности и т. д. Первые разности с дробными нижними индексами находятся по формулам

Вторые разности с целыми нижними индексами находятся по формулам

и т. д. Первые, третьи и т. д. разности с целыми индексами и вторые, четвертые и т. д. разности с дробными индексами называются центральными разностями и они равны среднему арифметическому из соседних разностей того же столбца. Например,

Если функция достаточно гладкая и ее значения вычислены достаточно точно, а шаг таблицы мал, то разности довольно быстро убывают вместе с увеличением порядка. Ошибки округления значений приводят к тому, что значения разностей, начиная с некоторого порядка, определяются именно этими ошибками; разности теряют плавный ход и, как говорят, «скачут», так что пользоваться ими нет смысла.

Если разности, выраженные в единицах последнего десятичного знака значений функции, превосходят по абсолютной величине то в значениях функции обязательно имеется погрешность, не меньшая половины последнего выписанного десятичного знака.