§ 1.07. Среднеквадратичные приближения функций

Функция с известными значениями в узлах аппроксимируется функцией

где — постоянные коэффициенты и система функций, удовлетворяющих условиям

(такие функции называются попарно ортогональными).

Чаще всего используют в качестве функций системы ортогональных полиномов Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и др. (см., например, [3]). Коэффициенты определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений от в узлах

Величина называется средним квадратичным отклонением от Функция реализующая минимум называется наилучшим среднеквадратичным приближением исходной функции данной системой функций

Формулы для можно выписать в явном виде

Соответствующая величина равная минимальному значению среднего квадратичного отклонения для данной системы функций и выражающая точность аппроксимации

функции функцией определяется по формуле

Важным является случай, когда узлы можно выбирать произвольно внутри некоторого интервала Тогда в качестве системы функций выбирают полиномы Чебышева, обозначаемые обычно через а в качестве узлов выбирают корни полинома Чебышева Если начало отсчета и единица длины выбраны так, что то эти корни равны

Общая формула для следующая:

причем а остальные определяются по рекуррентной формуле

Если при построении аппроксимирующей функции вида (7.1.25) по полиномам Чебышева

используется узлов и то мы получим интерполяционный полином, т. е. полином степени, совпадающий с во всех узлах. Тогда

Для произвольного интервала узлы определяются формулой

a аргументом полиномов Чебышева в (7.1.33) служит вместо переменная

Случай равноотстоящих узлов. Пусть узлы имеют один и тот же шаг , и пусть начало отсчета и единица длины таковы, что Тогда при построении аппроксимирующей функции вида (7.1.25) роль

ортогональных полиномов играют следующие полиномы:

где — биномиальные коэффициенты. В частности,

Коэффициенты в аппроксимирующей функции (7.1.25) и соответствующая величина определятся формулами

причем знаменатель в последней сумме при полагается равным единице.