Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Численным дифференцированием и интегрированием называются операции по нахождению производных и определенных интегралов от функции при условии использования только таблицы ее значений, которая или задается (если мы имеем дело с табличной функцией) или может быть вычислена.

Методы численного дифференцирования и интегрирования основаны на приближенном представлении функций с помощью или интерполяционных полиномов или других аппроксимирующих формул, рассмотренных в гл. 1. Литература по этому вопросу весьма обширна (см. библиографию в [9], [16]). Мы ограничимся в этой главе основными результатами, представляющими наибольший практический интерес.

§ 2.01. Численное дифференцирование с помощью интерполяционных формул

Пусть имеется таблица значений функции с равноотстоя щими узлами, и пусть составлена таблица вида 81 ее разностей. Формулы для производных от получаются дифференцированием интерполяционных формул для этой функции.

Дифференцируя формулы Ньютона для интерполяции вперед, Стирлинга и Бесселя (при этом получим соответственно следующие выражения производных в точках вблизи узла

Из формулы Ньютона для интерполяции назад получим

Для вторых производных имеют место следующие выражения, получаемые аналогичным образом:

Часто используют формулы для производных в узле Они получаются из приведенных выше (частично используем более далекие члены) при

Изформул Ньютонадля интерполяции вперед:

Из формул Ньютона для интерполяции назад:

Из формулы Стирлинга:

Из формулы Бесселя:

Формулы численного дифференцирования можно вывести, дифференцируя формулу Лагранжа (в случае равноотстоящих узлов). Тогда получаем выражения для производных, содержащие остаточный член. Значения производных выражаются в этом случае через значения функции в узлах.

Наиболее употребительны следующие формулы:

где остаточные члены выражены через производные функции в некоторых промежуточных точках