Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Численным дифференцированием и интегрированием называются операции по нахождению производных и определенных интегралов от функции при условии использования только таблицы ее значений, которая или задается (если мы имеем дело с табличной функцией) или может быть вычислена.
Методы численного дифференцирования и интегрирования основаны на приближенном представлении функций с помощью или интерполяционных полиномов или других аппроксимирующих формул, рассмотренных в гл. 1. Литература по этому вопросу весьма обширна (см. библиографию в [9], [16]). Мы ограничимся в этой главе основными результатами, представляющими наибольший практический интерес.
§ 2.01. Численное дифференцирование с помощью интерполяционных формул
Пусть имеется таблица значений функции
с равноотстоя щими узлами, и пусть составлена таблица вида 81 ее разностей. Формулы для производных от
получаются дифференцированием интерполяционных формул для этой функции.
Дифференцируя формулы Ньютона для интерполяции вперед, Стирлинга и Бесселя (при этом
получим соответственно следующие выражения производных в точках
вблизи узла
Из формулы Ньютона для интерполяции назад получим
Для вторых производных
имеют место следующие выражения, получаемые аналогичным образом:
Часто используют формулы для производных в узле
Они получаются из приведенных выше (частично используем более далекие члены) при
Изформул Ньютонадля интерполяции вперед:
Из формул Ньютона для интерполяции назад:
Из формулы Стирлинга:
Из формулы Бесселя:
Формулы численного дифференцирования можно вывести, дифференцируя формулу Лагранжа (в случае равноотстоящих узлов). Тогда получаем выражения для производных, содержащие остаточный член. Значения производных выражаются в этом случае через значения функции
в узлах.
Наиболее употребительны следующие формулы:
где остаточные члены выражены через производные функции
в некоторых промежуточных точках