§ 3.08. Общая вариационная задача для движения ракеты в однородном поле тяжести при наличии аэродинамического сопротивления
Пусть движение ракеты исследуется при следующих допущениях (см. рис. 82):
а) Земля считается плоской и ускорение силы тяжести постоянно, 
6) скорость истечения частиц с постоянна;
в) сила сопротивления атмосферы 
зависит от высоты ракеты над горизонтом у, скорости 
и от подъемной силы 
г) вектор тяги 
лежит в вертикальной плоскости 
проходящей через точку запуска О;
д) на величину секундного расхода топлива 
наложено ограничение (8.3.16) или, что то же самое, (8.3.17).
Тогда уравнения движения ракеты вместе с условиями связи (8.3.14) и (8.3.17) имеют вид
Формулировка задачи. В классе функций 
удовлетворяющих уравнениям (8.3.49) и некоторым граничным условиям (число которых должно быть менее 12), найти такую систему функций, которая минимизирует некоторый функционал 
Функция Лагранжа (8.3.19) и соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид
В формуле 
— множители Лагранжа.
Анализ уравнений (8.3.51) при различных предположениях относительно функционала 
силы сопротивления 
и размерности
задачи, выполненный Миеле [68], [69], Лейтманом [70], Брайсоном и Россом [71] и др., позволяет сделать следующее заключение.
1) При наличии сопротивления атмосферы оптимальная траектория состоит из участков нулевой тяги, максимальной тяги и промежуточной (переменной) тяги.
2) Оптимальная программа подъемной силы 
является непрерывной функцией времени.
3) Функции переключения величины тяги и направления тяги определяются формулами
Если уравнения Эйлера — Лагранжа разрешены относительно искомых функций, то равенства (8.3.52) позволяют задать функции переключения как явные функции времени.
4) Для планирующих траекторий 
оптимальная программа полета достигается в том случае, когда сила аэродинамического сопротивления минимальна по отношению к скорости при постоянных значениях уровня энергии и подъемной силы.
Достаточно подробно эта задача изложена в главе IV монографии [12].
Полное решение простейшей вариационной задачи (задачи о максимальном движении ракеты в сопротивляющей атмосфере) дано А. А. Космодемьянским [47]. Можно также указать на интересные результаты Оберта [51], А. А. Космодемьянского [72], Д. Е. Охоцимского [73].
