§ 3.11. Теоремы Арнольда об устойчивости решения гамильтоновой системы в общем эллиптическом случае

Арнольд установил общие теоремы об устойчивости положения равновесия гамильтоновых систем в общем эллиптическом случае [80], которые оказались эффективными при исследовании устойчивости лагранжевых треугольных решений.

Пусть имеется гамильтонова система с одной степенью свободы

где гамильтониан представляется формулой

предполагается аналитической по и -периодической по

Уравнения (10.3.27) имеют тривиальное решение (положение равновесия)

Определение. Общим эллиптическим случаем для гамильтониана (10.3.28) называется случай, когда среди постоянных может быть сколь угодно большим) есть отличные от нуля.

Пусть X — некоторое иррациональное число. Обозначим через множество таких иррациональных чисел , для которых выполняется неравенство

при всех целых Пусть, кроме того, является объединением точек плотности всех множеств Множество всех вещественных чисел, не принадлежащих , имеет меру нуль.

Теорема 1. Если то тривиальное решение системы (10.3.27) с гамильтонианом общего эллиптического типа (10.3.28) устойчиво в смысле Ляпунова.

Пусть теперь имеется автономная гамильтонова система с двумя степенями свободы вида

Определение. Если гамильтониан представим в виде

причем

то такой случай, согласно определению Арнольда, называется общим эллиптическим случаем для гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Для случая степеней свободы Арнольд дает определение общего эллиптического случая в работе [36]. Гамильтониан, приведенный в § 1.07, принадлежит к общему эллиптическому типу.

Теорема 2. Тривиальное решение (положение равновесия) автономной системы (10.3.33) с гамильтонианом в общем эллиптическом случае устойчиво в смысле Ляпунова, если .

Получены также некоторые результаты по устойчивости автономных систем общего вида с внутренним резонансом частот [144] - [147].