2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций

Если над непрерывными функциями производить операции сложения, умножения и деления, то в результате будем получать непрерывные функции. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если функции непрерывны в точке то их сумма и произведение также непрерывны в точке Если, кроме того, , то функция непрерывна в точке

Доказательство. Докажем, например, непрерывность произведения . В точке функция определена, причем . Из непрерывности функций в точке следует: Применяя теорему о пределе произведения, получим:

Итак, что и доказывает непрерывность функции в точке

Аналогично доказываются остальные утверждения теоремы. Теорема обобщается на любое конечное число слагаемых или сомножителей.

Установим непрерывность некоторых элементарных функций.

Ясно, что постоянная функция непрерывна на всей числовой оси. Легко показать, что функция также непрерывна во всей области ее определения, т. е. на всей числовой оси. Поэтому функция , где — целое положительное число, непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных функций

Многочлен

— непрерывная функция на всей числовой оси, как сумма непрерывных функций. Далее, рациональная функция, являющаяся частным от деления двух многочленов, по теореме 1 непрерывна во всех точках, кроме тех, где знаменатель обращается в нуль. Так, например, функция непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точек Вообще можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях для которых они определены.

В гл. I мы ввели понятие сложной функции. Напомним, что если аргумент и функции в свою очередь является функцией некоторой новой переменной , то такую функцию мы назвали сложной и обозначили (гл. I, § 4, п. 6).

Имеет место следующая теорема о непрерывности сложной функции.

Теорема 2. Если функция непрерывна в точке а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно установить, что . Действительно, в силу непрерывности функции

т. е. при также и

Поэтому, вследствие непрерывности функции

Приведем краткую формулировку доказанной теоремы,

Сложная функция образованная из двух непрерывных функций есть непрерывная функция

Так, например, сложная функция непрерывна для всех значений так как функции непрерывны. Сложная функция непрерывна для всех значений удовлетворяющих неравенству т. е. в интервале

Как мы знаем (см. гл. I, § 4, п. 6), элементарной функцией называется такая функция, которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа образования сложных функций. Так как основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены, то из теорем 1 и 2 настоящего пункта следует: всякая элементарная функция непрерывна во всех точках, принадлежащих ее области определения.

Этот важный результат позволяет легко находить пределы элементарных функций при если функция определена при Для этого достаточно вычислить значение функции в точке

Пример 1. Найти

Решение. Так как функция непрерывна в точке то

В заключение этого пункта рассмотрим два предела, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Пример 2. Найти

Решение. Заметим, что при числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, так как Поэтому здесь теорема о пределе дроби неприменима. Выполним следующее преобразование:

Так как логарифмическая функция непрерывна, то мы можем переходить к пределу под знаком функции, т. е.

Но (см. § 1, п. 8, пример 2). Поэтому

В частности, при

Таким образом, - эквивалентные бесконечно ыалые функции при

Пример 3. Найти

Решение. Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида

Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив Тогда Замечая, что при также и имеем

так как на основании примера .

В частности, отсюда следует, что

т. е. при - эквивалентные бесконечно малые функции.