Мы должны предположить, что данные прямые не перпендикулярны друг другу, так как иначе 
не существовал бы. Пусть прямая 
образует с осью абсцисс угол а прямая 
— угол 
Проведя через точку М, в которой пересекаются прямые 
прямую, параллельную оси 
увидим, что
или
Следовательно,
Но 
, поэтому
Таким образом, если две пересекающиеся прямые 
не перпендикулярны, то тангенс угла 
между ними находится по формуле (12). При этом угол 
отсчитывается в направлении от прямой к прямой 
Рис. 41
Если прямые параллельны, или совпадают, то 
и, следовательно, 
т. е.
Обратно, если 
, то 
и, следовательно, прямые 
параллельны или совпадают. Условившись совпадающие прямые считать параллельными, мы приходим с следующему признаку параллельности прямых.
Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.
Если прямые 
перпендикулярны, то формула (12) теряет смысл. Однако в этом случае можно рассматривать котангенс угла между прямыми:
В случае перпендикулярности прямых 
. Следовательно, 
откуда 
или
Можно показать, что и обратно, если выполняется равенство (14), то прямые 
перпендикулярны.
Таким образом, формула (14) выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.
Пример. Определить, какие углы образуют с прямой 
прямые 
.
Решение. Приведем уравнения данных прямых к форме уравнений с угловым коэффициентом. Для этого разрешим каждое из них относительно у:
Мы видим, что угловые коэффициенты этих прямых соответственно равны 
Найдем по формуле (12) тангенс угла 
между первой и второй прямыми:
Следовательно, 
.
Третья прямая параллельна первой, так как угловые коэффициенты этих прямых равны: 
. Угол между двумя параллельными прямыми равен нулю.
Четвертая прямая перпендикулярна первой угол между ними равен у, так как угловые коэффициенты этих прямых удовлетворяют условию перпендикулярности прямых (14): 
.
определяются соответственно уравнениями 
Найдем тангенс угла 
между этими прямыми (рис. 41).
