8. Общая схема исследования функции и построение ее графика
На основании всего изложенного в этом параграфе можно рекомендовать следующий план исследования функций.
1. Нахождение области определения функции, интервалов непрерывности и точек разрыва.
2. Нахождение асимптот графика функции.
3. Нахождение интервалов монотонности функции и ее экстремумов (максимумов и минимумов).
4. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.
5. Построение графика функции.
Замечание 1. При построении графика функции полезно знать также точки пересечения графика с осями координат.
Замечание 2. Перед построением графика полезно также установить, не является ли данная функция четной 
или нечетной 
.
При построении графика четной или нечетной функции рекомендуется использовать симметрию графика относительно оси ординат или начала координат.
Пример 1. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение. 1. Функция определена и непрерывна для всех значений х.
2. Асимптоты графика функции, не параллельные оси 
Так как для b не существует конечного предела, то график функции асимптот, не параллельных оси 
при 
не имеет. Легко проверить, что и при 
график функции также не имеет асимптот, не параллельных оси 
Асимптот, параллельных оси 
также нет, так как функция 
непрерывна при всех значениях 
3. Определяем интервалы монотонности функции, максимумы и минимумы.
Находим производную 
Определим критические значения аргумента:
Кроме того, так как при 
производная терпит бесконечный разрыв, то значение 
будет также критическим.
Определяем знаки производной в каждом из интервалов 
на которые точки 0 и 1 разбивают всю область определения данной функции. Имеем:
Составляем таблицу
4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика.
Находим вторую производную
не обращается в нуль ни при каком значении х, но при 
не существует (имеет бесконечный разрыв).
Определяем знаки второй производной в каждом из интервалов 
и составляем таблицу
Находим точки пересечения графика с осями координат:
При построении графика необходимо иметь в виду, что при 
т. е. в начале координат график имеет вертикальную касательную (рис. 161).
Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. 1. Функция определена и непрерывна в интервале 
. В граничной точке 
области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как 
Рис. 161
2. Асимптоты графика. Так как в точке 
функция имеет бесконечный разрыв, то прямая 
(ось Оу) является асимптотой.
Найдем асимптоту, не параллельную оси 
Итак, 
и уравнение асимптоты будет 
т. е. асимптотой является ось Ох.
Таким образом, график имеет в качестве своих асимптот ось 
и ось 
3. Определяем интервалы монотонности и экстремумы функции. Находим производную
Критические значения 
аргумента:
Исследуем знак производной в каждом из интервалов 
), на которые точка 
разбивает всю область определения функции.
Составляем таблицу
4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика.
Находим вторую производную функции:
Приравниваем 
нулю и находим значения аргумента, при которых график может иметь точку перегиба:
Определяем знак второй производной в каждом из интервалов 
.
Составим таблицу
Находим точки пересечения с осями координат. С осью 
график точек пересечения не имеет, так как функция определена при 
Рис. 162
Точки пересечения с осью 
находятся из уравнения 
, откуда
На основании полученных данных строим график функции 
изображенный на рис. 162.
