6. Дифференциал дуги
Пусть в формуле (49) для длины дуги нижняя граница а остается постоянной, а верхняя граница изменяется. Чтобы подчеркнуть это, обозначим верхнюю границу буквой 
а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхней границей, — буквой t. Если при этом учесть, что длина дуги I будет функцией верхней границы, то формулу (49) можно записать в следующем виде:
Согласно теореме о производной интеграла по верхней границе эта функция дифференцируема, и ее производная
Отсюда дифферинциал дуги
или, в сокращенной записи,
Так как 
или
Пользуясь формулой (56) и учитывая, что дифференциал функции равен приращению ординаты касательной (см. гл. VI, § 3, п. 1), приходим к следующему геометрическому смыслу дифференциала дуги (рис. 193): дифференциал дуги 
равен длине отрезка касательной от точки касания М с абсциссой 
до точки 
с абсцисс 
Рис. 193
Рис. 194
В гл. VI (§ 5, п. 4) была использована теорема, принятая без доказательства, о пределе отношения длины дуги к длине стягивающей ее хорды. Докажем теперь эту теорему. Для простоты доказательства ограничимся случаем плоской кривой, заданной уравнением 
Теорема. Пусть дуга задана уравнением 
причем 
и 
- непрерывные функции. Тогда предел отношения длины этой дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице при стремлении длины хорды к нулю.
Доказательство. Рассмотрим участок дуги кривой между точками А и В с абсциссами 
(рис. 194). Длина дуги
Применяя теорему о среднем (см. формулу (21)), получим
С другой стороны, длина стягивающей хорды 
где 
(см. формулу 
). Замечая, что при 
стремятся к 
получим
