2. Теорема Ролля
Теорема Если функция 
непрерывна на сегменте 
, дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах сегмешпа обращается в нуль: 
то ее производная 
обращается в нуль хотя бы в одной внутренней точке с этого сегмента.
Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте, то она достигает на этом сегменте своего наибольшего значения М и наименьшего значения 
(гл. V, § 2, п. 3).
Если 
, то функция постоянна на сегменте 
и, следовательно, ее производная 
в любой точке сегмента. Пусть теперь Мфту тогда одно из этих чисел, например 
. Поэтому, если наибольшее значение М достигается в точке с: 
то точка с должна быть внутренней точкой сегмента 
т. е. принадлежать интервалу 
(так как на концах сегмента f 
Следовательно, по теореме Ферма 
Геометрически теорему Ролля можно пояснить следующим образом: если график непрерывной на сегменте 
и дифференцируемой внутри него функции пересекает ось 
в двух точках 
то между этими точками найдется хотя бы одна точка с, 
в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс (см. рис. 144).
Рис. 144
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна и дифференцируема на сегменте [
] и обращается в нуль на его концах: 
Производная этой функции 
обращается в нуль в точке 
лежащей внутри сегмента [
].
во всех внутренних точках сегмента 
то утверждение теоремы Ролля может оказаться неверным. Например, функция 
непрерывна на сегменте 
и обращается в нуль на концах сегмента: 
внутри данного сегмента в нуль не обращается. Происходит это потому, что при 
производная не существует. Из рис. 145 видно, что в этом случае на сегменте 
не существует касательной, параллельной оси 
