5. Разложение вектора на составляющие по осям координат
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Охуг (рис. 69). Отнесем к каждой из осей единичный вектор, направление которого совпадает с положительным направлением оси. Так, оси Ох отнесем единичный вектор i, оси 
— единичный вектор j и оси Oz - единичный вектор 
.
Эти три взаимно перпендикулярных единичных вектора называются ортами.
Рис. 69
Рассмотрим некоторый вектор а в пространстве. Перенесем его параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат О.
Другими словами, отложим от начала О вектор ОМ, равный 
. Проводя через конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям, получим параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ.
Из рис. 69 и из определения суммы нескольких векторов находим:
Так как 
Векторы 
являются составляющими вектора 
по осям 
На основании (49) можем написать:
Обозначая проекции вектора 
на оси 
соответственно через 
из (52) и (53) получаем
Формула (54) дает разложение вектора а на составляющие по координатным осям.
Пусть точка М — конец вектора имеет координаты х, у, z. В таком случае по формуле (46) проекции вектора 
по осям, очевидно, будут 
а составляющие по осям — 
Формула (54) разложения вектора на составляющие примет вид
Если вектор а имеет проекции на оси координат соответственно 
, то мы будем это записывать следующим образом:
Если известно разложение векторов по осям координат, то линейные операции над векторами можно заменить арифметическими действиями над их проекциями.
Пример. Даны векторы
Найти их сумму и разность.
Решение. Так как при сложении векторов их проекции складываются, а при вычитании вычитаются, то
Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. Так как вектор 
является диагональю параллелепипеда, то на основании известной теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать
но 
. Поэтому
откуда
Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.
Рассмотрим теперь вектор АВ, начало которого имеет координаты 
, а конец 
. По определению проекции вектора на ось находим, что вектор АВ будет иметь следующие проекции:
Поэтому на основании формулы (54) получаем следующее разложение вектора АВ по осям координат:
По формуле (57) находим модуль вектора
Эта формула совпадает с выведенной ранее (гл. I, § 2, п. 5) формулой для расстояния между двумя точками А и В.
