2. Полярные координаты
В п. 1 § 2 рассматривались прямоугольные декартовы координаты точки на плоскости. Однако можно построить много других систем координат, позволяющих определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.
Рассмотрим на плоскости ось 
(т. е. прямую, имеющую начало, положительное направление и масштабную единицу) (рис. 12). Назовем эту ось полярной осью, а ее начало О — полюсом.
Пусть М — любая точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Проведем через эту точку и полюс ось 
начало которой совпадает с полюсом; положительное направление выбрано от полюса к точке М, а масштабная единица — та же, что и на полярной оси.
Рис. 12
(В частном случае, если точка М лежит на положительной части полярной оси, то ось 
совпадает с полярной осью 
если же точка М лежит на отрицательной части полярной оси, то оси 
имеют противоположные направления.) Обозначим координату точки М на оси 
через 
и назовем ее полярным радиусом точки М. Угол 
между полярной осью и осью 
обозначим через 
и назовем его полярным углом точки М. Для данной точки М угол определяется неоднозначно (с точностью до слагаемого вида 
, где k — любое целое число). В дальнейшем, если не будет специально оговорено, из всех этих значений выбираем то, которое удовлетворяет условию
Тогда каждой точке плоскости, не совпадающей с полюсом, будет соответствовать вполне определенное и единственное значение полярного угла 
. Полярный радиус 
для такой точки также имеет вполне определенное значение, он всегда положителен (так как положительное направление на оси 
выбирается от полюса О к точке М) и равен расстоянию этой точки от полюса. Обратно, если мы знаем, что точка М имеет полярный угол 
и полярный радиус 
, то мы можем построить эту точку. Для этого достаточно провести через полюс ось 
под углом 
к полярной оси l и построить на оси 
точку, имеющую координату 
.
Таким образом, полярный угол 
и полярный радиус 
любой точки М плоскости, за исключением полюса, вполне определяют положение этой точки на плоскости. Числа 
называются полярными координатами точки М. Полюс находится в особом положении. Для него ось 
не имеет определенного направления и, следовательно, полярный угол не существует. Полярный радиус полюса равен нулю, и эта единственная координата вполне определяет положение полюса.
Условимся писать 
в том случае, когда 
является полярным углом, а 
— полярным радиусом точки М.
Пример 1. Построить в полярной системе координат точки
Решение. Для построения первой точки проводим ось 
под углом 
к полярной оси l (рис. 13) и отмечаем на этой оси точку 
с координатой 2. Остальные точки строятся аналогично: проводятся оси 
образующие с полярной осью соответственно углы 
а затем на оси 
строится точка 
с координатой 1, на оси 
-точка 
с координатой 3 и на оси 
- точка 
с координатой 2.
Рис. 13
Рис. 14
Замечание. Положительное направление оси 
выбрано нами от полюса к точке М. В некоторых случаях положительным направлением оси 
удобнее считать противоположное направление, от точки М к полюсу. Тогда полярный радиус 
точки М будет, очевидно, отрицательным. Обратно, если задано отрицательное значение полярного радиуса 
точки 
, то это значит, что положительное направление оси 
выбрано от точки М к полюсу. Пример 2. Построить в полярной системе координат точку
Решение. Проводим ось 
под углом 
к полярной оси (рис. 14) и строим на оси 
точку М с отрицательной координатой 
