14. Геометрический смысл смешанного произведения

Отложим данные векторы а, b и с от общего начала и построим на этих векторах, как на ребрах, параллелепипед (предполагая, что векторы не лежат в одной плоскости). Построим также вектор модуль которого равен площади Q параллелограмма, построенного на векторах а и b (рис. 78). На основании определения смешанного произведения

Рис. 78

По определению скалярного произведения

где угол между векторами d и .

Предполагая, что и обозначая через h высоту параллелепипеда, находим

Таким образом,

Но произведение равно объему V рассматриваемого параллелепипеда. Следовательно,

Если же , то . Следовательно,

Объединяя оба эти случая, получаем окончательно

или

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах.