7. Криволинейный интеграл по длине дуги
В предыдущих пунктах мы рассматривали криволинейный интеграл от вектор-функции (криволинейный интеграл по координатам). Однако некоторые задачи приводят к криволинейному интегралу другого рода. Рассмотрим в плоскости 
кривую АВ длины 
. Пусть вдоль этой кривой распределена масса с линейной плотностью 
. Определим массу 
кривой. Для этого разобьем кривую АВ точками деления 
на 
частей, обозначая для единообразия точки А и В соответственно через 
Обозначим через 
массу дуги 
длины 
Ясно, что, 
Подсчитаем приближенно массу дуги 
. Пусть 
произвольная точка дуги 
. Считая, что плотность в каждой точке дуги 
такая же, как в точке 
получим приближенное значение массы: 
Суммируя, найдем приближенное значение массы 
За точное значение массы кривой АВ примем предел суммы (57) при условии, что все 
. Итак,
К подобного рода суммам и их пределам приводят и другие задачи. Отвлекаясь от конкретного содержания приведенной задачи, рассмотрим непрерывную функиию 
, определенную в точках дуги АВ. Составленная для нее сумма вида (57) называется интегральной суммой. Предел интегральной суммы (57) при условии, что все 
называете я криволинейным интегралом от функции 
по длине дуги АВ и обозначается символом 
или 
Итак
Таким образом, масса дуги равна криволинейному интегралу от плотности по длине этой дуги:
Следует обратить внимание на то, что, в отличие от криволинейного интеграла по координатам, криволинейный интеграл по длине дуги не зависит от выбора направления на кривой.
Можно показать, что вычисление криволинейного интеграла по длине дуги сводится к вычислению определенного интеграла.
Если дуга АВ задана уравнением 
то
Подынтегральное выражение в правой части равенства (60) получается из подынтегрального выражения в левой части заменой 
и дифференциала дуги 
на его выражение в декартовых координатах 
Пример. Найти массу дуги кривой 
между точками с абсциссами 
, если плотность 
.
Решение. Применяя формулы (59) и (60), получим
Замечание. Часто криволинейный интеграл по длине дуги называют криволинейным интегралом первого рода, а криволинейный интеграл от вектор-функции — криволинейным интегралом второго рода.
