Если бы тело V было однородным, т. е. плотность у в каждой его 
была бы одной и той же, равной 
то его масса 
была бы равна
где 
— объем тела.
Так как в общем случае плотность у меняется от точки к точке, то формула (30) для определения массы тела непригодна. Поэтому мы поступим следующим образом.
Разобьем тело Y на 
малых тел 
так, что 
. В каждом малом теле 
выберем по точке 
Если тела 
взять достаточно малыми, то в пределах каждого такого тела плотность изменяется незначительно и мало отличается от плотности 
в точке 
. Считая плотность в каждой точке малого тела 
постоянной и равной плотности в точке 
подсчитаем приближенно его массу 
Так как масса m всего тела равна 
, то получаем для ее вычисления следующее приближенное равенство:
За точное значение массы 
принимаем предел этой интегральной суммы, когда каждое из малых тел 
стягивается в точку:
Решение задачи о массе тела привело нас к рассмотрению предела сумм определенного вида. Так как к нахождению предела сумм такого вида сводятся многие задачи геометрии, физики и т. д., то естественно изучить свойства пределов таких сумм в общем виде, независимо от той или иной задачи, что приведет нас к понятию тройного интеграла.
, содержащее точку 
. Отношение массы 
этого малого тела к его объему 
, т. е. называется средней плотностью тела 
. Если существует предел у отношения 
при условии, что малое тело 
стягивается в точку 
, то этот предел называется плотностью в точке Р. Он зависит от положения точки 
и поэтому является некоторой функцией ее координат: 
. Вычислим массу 
тела объема V, зная, что плотность в каждой точке тела есть заданная непрерывна функция координат точки 
.
