2. Свойства степенных рядов

Пусть степенной ряд (68)

имеет интервал сходимости . Рассмотрим ряды, получающиеся из ряда (68) почленным дифференцированием и интегрированием:

Применяя признак Даламбера к рядам, составленным из абсолютных величин членов ряда (74) и (75), и предполагая при этом, что существует, легко убедиться, что ряды (74) и (75) имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд (68). Таким образом, имеем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть степенной ряд

имеет интервал сходимости . Тогда ряды, полученные из данного ряда почленным его дифференцированием и интегрированием, имеют тот же интервал сходимости, что и данный ряд.

Теорема Пусть степенной ряд (68)

имеет интервал сходимости , а — произвольное положительное число у меньшее чем . Тогда данный степенной ряд является правильно сходящимся на сегменте .

Доказательство. Как мы знаем, степенной ряд сходится абсолютно в любой точке интервала сходимости. Поэтому в точке знакоположительный ряд

сходится. Пусть х — любая точка сегмента . Так как то Поэтому члены ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда (68)

для любого значения принадлежащего сегменту , не превосходят соответствующих членов числового знакоположительного ряда (76). А это означает, согласно определению, что данный степенной ряд правильно сходящийся на сегменте .

Таким образом, теорема доказана.

Теорема 3. Сумма степенного ряда (68)

является непрерывной функцией в каждой точке его интервала димости (-R, R).

Доказательство. Пусть - любая точка интервала сходи мости. Тогда существует такое положительное число что сегмент содержит точку (рис. 262). По теореме 2 степенной ряд (68) на сегменте правильно сходящийся.

Рис. 262

Потому, на основании теоремы 2, § 2, его сумма является непрерывной функцией в любой точке сегмента и, в частности, в точке

Теорема 4. Степенной ряд (68)

можно почленно дифференцировать в любой точке его интервала сходимости.

Доказательство. Пусть степенной ряд (68) имеет интервал сходимости Рассмотрим ряд, составленный из производных членов данного ряда:

Согласно теореме 1, его интервал сходимости совпадает с интервалом сходимости данного ряда. Пусть - произвольная точка интервала сходимости. Рассмотрим сегмент , лежащий внутри интервала сходимости и содержащий точку (см. рис. 262). По теореме 2 степенной ряд правильно сходящийся. Следовательно, на основании теоремы 4, § 2, его сумма равна производной от суммы данного ряда, т. е.

Теорема 5. Степенной ряд

можно почленно интегрировать в интервале т. е. если — точки, принадлежащие интервалу сходимости, то

Доказательство. Рассмотрим сегмент , лежащий в интервале сходимости и содержащий точки Так как на сегменте степенной ряд правильно сходящийся, то по теореме 3, § 2 его можно почленно интегрировать.